专题24 函数的零点（5大压轴考法）（教师版） 2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）.pdf

专题24函数的零点

目录

解题知识必备

压轴题型讲练3

题型一、零点存在定理3

题型二、零点的个数5

题型三、比较零点的大小关系8

题型四、零点的和11

题型五、与零点相关的参数问题15

压轴能力测评（13题）19

一、函数的零点与方程的根

1、定义：如果函数y=fx在实数a处的值等于零，即fa=0，则a叫做这个函数的零点.



2、注意事项：

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

y=f(x)x

（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；

（3）函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根．

3、方程、函数、图象之间的关系

fx=0y=fxxy=fx

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

二、零点存在定理及其推论

1、定理：如果函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且fa×fb0，



那么，函数y=fx在区间a.b内至少有一个零点，

cÎa.bfc=0cfx=0

即存在，使得，这个也就是方程的解。

【注意】（1）定义不能确定零点的个数；

（2）不满足定理条件时依然可能有零点；

（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；

（4）定理反之是不成立的.

2、重要推论：

（1）推论1：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，fa×fb0，



且fx具有单调性，则函数fx在区间a.b内只有一个零点.

（2）推论2：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，

函数fx在区间a.b内有零点，且函数fx具有单调性，则fa×fb0



三、零点个数的判断方法

1、直接法：直接求零点，令fx=0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa×fb0，



结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

3、图象法：

（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数x

fx的图象，函数fx的图象与轴交点的个数

就是函数fx的零点个数；

（2）两个函数图象：将函数fx拆成两个函数hx和gx的差，根据fx