高三理科数学二轮复习讲义模块一第六讲填空题技法.doc

第六讲填空题技法攻略

题型概述

填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：

(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．

(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.

技法指导

方法一直接法

直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．

【典例1】(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．

[解析]双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c)，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).

[答案]eq\f(2\r(3),3)

直接法求解填空题的关键

利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

[对点训练]

1．(2017·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.

[解析]a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.

[答案]－6

方法二特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．

【典例2】cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________．

[解析]令α＝0，则原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).

[答案]eq\f(3,2)

特例法求解填空题的技巧

求值或比较大小等问题的求解均可利用特例法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．

[对点训练]

2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝________.

[解析]解法一：如图，可取过焦点的直线为x＝eq\f(1,2)，求出交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，所以eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4).

解法二：设点A(xA，yA)，点B(xB，yB)，由题意，知p＝1.

设AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),2)·eq\f(y\o\al(2,B),2)＝eq\f(1,4).则eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4).

[答案]－eq\f(3,4)

方法三图解法(数形结合法)

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出