专题05 导数中的隐零点问题（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

专题05导数中的隐零点问题

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TOC\o1-1\h\u题型01利用隐零点解决最值、极值 1

题型02 利用隐零点判断零点个数 2

题型03利用隐零点证明不等式 4

题型01利用隐零点解决最值、极值

【解题规律·提分快招】

一、隐零点问题

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到最值式的估计.

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·浙江·三模）已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（???）

A． B． C． D．1

二、填空题

5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，且，函数的值域为.

6．（2024·青海·模拟预测）已知函数的最小值为，则.

题型02 利用隐零点判断零点个数

【解题规律·提分快招】

一、函数零点的存在性定理

函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.

二、隐零点的同构

实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知实数满足，则函数的零点个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、解答题

3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.

(1)求在区间内的极大值；

(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．

4．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.

(1)若，求在处的切线方程.

(2)讨论的单调性.

(3)求证：若，有且仅有一个零点.

5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知.

(1)讨论的单调性；

(2)若，讨论的零点个数；

(3)若，且，证明：存在唯一实数，使得.

6．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．

(1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围；

(2)证明：当时，有且仅有两个零点．

题型03利用隐零点证明不等式

【解题规律·提分快招】

针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。

【典例训练】

一、解答题

1．（2024高三·全国·专题练习）求证：

2．（23-24高三下·湖北黄冈·阶段练习）已知函数.

(1)求方程在上的解集；

(2)设函数；

（i）证明：在有且只有一个零点；

（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：.

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.

(1)当时，求的极小值；

(2)若，求证：当时，.

4．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数.

(1)若曲线y=fx在点1,0处的切线为轴，求的值；

(2)讨论在区间1,+∞内的极值点个数；

(3)若，求证：存在两个零点，且满足.

5．（23-24高三下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，.

(1)求函数的值域；

(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.

一、解答题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围.

2．（24-