专题11 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

专题11累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式

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TOC\o1-1\h\u题型01累加法 1

题型02累乘法 2

题型03构造法 3

题型04递推法 5

题型01累加法

【解题规律·提分快招】

1、累加法

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；

=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

【典例训练】

一、填空题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为.

2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式.

3．（2025高三·全国·专题练习）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是.

4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则该数列的通项公式为.

5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则.

题型02累乘法

【解题规律·提分快招】

1、累乘法

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（23-24高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则．

4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为.

5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2023＝

6．（23-24高三下·安徽马鞍山·开学考试）已知数列满足，则的最小值为．

题型03构造法

【解题规律·提分快招】

1、形如（其中均为常数且）型的递推式

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出

2、形如型的递推式

（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出

（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得

法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出

法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．

（3）当为任意数列时，可用通法：

在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．

3、倒数变换法

形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；

还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．

4、形如型的递推式

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

【典例训练】

一、单选题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（????）

A． B． C． D．

2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（????）