高考数学（理）高分计划一轮高分讲义第3章三角函数解三角形34函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用.docx

3．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

[知识梳理]

1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示．

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．

2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下：

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)将函数y＝3sin2x的图象左移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()

(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2．教材衍化

(1)(必修A4P57T1)为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()

A．向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度

B．向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度

C．向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度

D．向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度

答案D

解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))可变形为y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))))，所以将y＝sin2x的图象向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度即可，故选D.

(2)(必修A4P70T18)函数f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分别是()

A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2

答案A

解析由f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，得最小正周期为π，振幅为1，故选A.

3．小题热身

(1)(2017·柳州模拟)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图象如图，则ω＝()

A．5B．4

C．3D．2

答案B

解析由图象可知，eq\f(T,2)＝x0＋eq\f(π,4)－x0＝eq\f(π,4)，即T＝eq\f(π,2)＝eq\f(2π,ω)，故ω＝4.故选B.

(2)(2018·成都检测)①为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向________平移________个单位长度．

②为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度．

答案①左1②左eq\f(1,2)

题型1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω0，|φ|\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．

用五点法．

解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).数据补全如下表：

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

x

eq\f(π,12)

eq\f(π,3)

eq\f(7π,12)

eq\f(5π,6)

eq\f(13π,12)

Asin(ωx＋φ)

0

5

0

－5

0

且函数表达式为f(x