专题40空间向量及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理真题自测考点突破分层检测新高考专用原卷版.pdfVIP

专题40空间向量及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】4

【考点突破】5

【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理5

【考点2】空间向量的数量积及其应用7

【考点3】利用空间向量证明平行与垂直9

【分层检测】12

【基础篇】12

【能力篇】15

【培优篇】16

考试要求：

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.

6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重

(或平行向量)合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝

λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存

在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一

的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

→→

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB

π

叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂

2

直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作

a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b).

123123

向量表示坐标表示

数量积a·bab＋ab＋ab

112233

共线a＝λb(b≠