2025年春初中数学八年级下册人教版 18.2.3 第2课时 正方形的判定.pptxVIP

第十八章平行四边形18.2.3正方形第2课时正方形的判定

问题1什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.O复习引入正方形性质：①四个角都是直角；②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分.

问题2你是如何判定矩形、菱形的？思考怎样判定一个四边形是正方形呢？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直

正方形的判定活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直

已知：如图,在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴四边形ABCD是正方形.证一证对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO

活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.正方形菱形猜想满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等

已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴四边形ABCD是正方形.证一证对角线相等的菱形是正方形.ABCDO

正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角/一组邻边相等/总结归纳对角线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等，且一内角是直角

在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠BAD=∠BCDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC练一练CABCDO

例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析

在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN，∠A=∠B=∠C=∠D，AN=BE=CF=DM，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF.∴四边形EFMN是菱形.又∠NEF=180°-(∠AEN+∠BEF)=180°-(∠AEN+∠ANE)=180°-90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.

证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.过点D作DG⊥AB于点G.∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.同理，DG=DF，∴DE=DF.∴四边形CEDF为正方形.例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.ABCDEFG

例3如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠ABO=∠BCO=45°，∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH，∴∠BOE+∠BOH=90°.∴∠COH=∠BOE.∴△CHO≌△BEO.∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG.BACDOEHGF

∴OE=OF=