沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§1-集合.pptVIP

第六章线性空间§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和§1集合·映射

线性空间概念引言线性空间是线性代数的中心内容,它是几何空间的抽象和推广．在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数量乘法可以描述一些几何的和力学学的问题的有关属性．为研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广到n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地说明了线性方程组的解的理论．第六章线性空间§1集合映射

现在把n维向量抽象成集合中的元素,撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规那么抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义．第六章线性空间§1集合映射

一、集合具有某种属性的一些对象看成一个整体,称为集合,当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：1、定义组成集合的这些对象称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．常用大写字母A、B、C等表示集合；☆§1集合·映射第六章线性空间§1集合映射

☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3M＝｛x|x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝第六章线性空间§1集合映射

2、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作，（读作B包含于A）当且仅当☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，那么称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且约定：空集是任意集合的子集合.第六章线性空间§1集合映射

3、集合间的运算交：；并：显然有，1、证明等式:．证：显然，．又，∴，从而,．练习：故等式成立．第六章线性空间§1集合映射

2、已知，证明：．又因，∴．2），但是，又因，∴．证：1）此即，因此无论哪一种情况，都有.此即，第六章线性空间§1集合映射

二、映射设M、M′是给定的两个非空集合，如果有一个对应法那么σ，通过这个法那么σ对于M中的每一个元素a，都有M′中一个唯一确定的元素a′与它对应,那么称σ为称a′为a在映射σ下的象，而a称为a′在映射σ下的M到M′的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a′或1、定义第六章线性空间§1集合映射

注:①设映射,集合,称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．例4判断以下M到M′对应法那么是否为映射1〕M＝｛a,b,c｝、M′＝｛1,2,3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4显然，〔不是〕〔是〕〔不是〕第六章线性空间§1集合映射

2〕M＝Z，M′＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,