浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接.doc

浅谈数学基础课程与数学物理方法课程地衔接

杨明

东南大学数学系,南京210096.

Email:mathyangming@163.com.b5E2RGbCAP

摘要:

作者在本文中对数学物理方法中地一些知识点与数学基础课中知识点地联系做了探讨.主要目地是通过这些研究,合理地安排好这些课程中地教案内容,让它们在不同课程中衔接好,达到帮助学生理解和掌握地目地.p1EanqFDPw

关键字:高等数学,线性代数,数学物理方法,教案内容与方法.

介绍

数学物理方法课是工科电类本科专业地重要课程,也被认为是一门难度较大地课程.因为在这门课程中,学生需要综合应用数学基础课程(高等数学,线性代数地知识去解决新地问题,同时也会接触到现代数学中地一些抽象地基本概念,从而为进一步学习先进数学工具打下坚实地基础.我们在教案研究中发现,数学物理方法中地知识点其实在数学基础课中都有体现,如果能衔接好数学基础课与数学物理方法中地知识点,将能较好地让学生理解并掌握这门课程中地思想和方法.本文中,我们从具体地教案内容出发,来说明我们地教案方法.DXDiTa9E3d

教案案例:

线性非齐次常微分方程

在高等数学中,对于线性非齐次常微分方程地求解方法,重点是介绍了常数变异法和待定函数法,参见文献[1],对积分因子方法(凑导数和齐次化原理地介绍很少,而后两者却是推导非齐次问题解地表达式地常用方法.积分因子方法一般用来处理一阶方程,而齐次化原理对高阶方程也是有效地,而且偏微分方程地齐次化原理和常微分方程地齐次化原理也是相通地.因此理解和熟练应用常微分方程地积分因子方法和齐次化原理具有重要意义.下面我们来简单地叙述和推导下一阶线性常微分方程地积分因子方法和齐次化原理.RTCrpUDGiT

考虑下面地问题:

积分因子法(凑导数

其中被称为积分因子.

齐次化原理

先做线性拆分,将原来问题分成两个问题,一个初值为,一个非齐次项为,即

其中齐次方程用分离变量法可解出,

.

下面来考虑问题.为此我们引入一个带参数地新问题:

用分离变量法将该问题求出,

,

则

直接验证可得上面地表达式即为所求,但验证时要用到含参变量地导数地求法,一般工科地高等数学中不做要求,需要教师补充,即5PCzVD7HxA

.

值得注意地是本方法可以推广导高阶线性常微分方程和线性偏微分方程,请读者自行推导.

(2Gauss公式,第二Green公式以及位势方程地基本解

在高等数学中,Gauss公式是要求重点掌握地内容,利用该公式来计算第二型曲面积分是学生比较熟悉地方法.向量形式地Gauss公式就是散度定理(divergencetheorem:jLBHrnAILg

,

其中是空间区域,是地单位外法向量.利用散度定理可以方便地推出第二Green公式,参见文献[2,3],

这里地积分指地是Lebesgue积分.与空间上函数内积和模地定义一样定义上地函数地内积和模.关于Lebesgue积分,我们工科学生并不需要知道它复杂地构造方法和技巧,而只要知道它地定义和下面地结论即可.rqyn14ZNXI

结论:(i按摸收敛下是完备空间。

(ii对任意地,存在函数列使得在中.

这个结论可以通俗地理解为通过填满空间地缝隙而得到.

我们认为在数学物理方程这门课程中引入是很有必要,也是很好地时机.这样既可以深化学生对Fourier级数理论地认识,也是学生认识无穷维空间地一个很好地例子,从而为后面学习泛函分析等抽象地数学课程提供具体感性地认识.学习要从简单到复杂,从具体到抽象,只有这样才符合我们地认知规律.EmxvxOtOco

(4Sturm-Liouville问题与线性代数中自共轭算子地特征值问题地联系

我们在利用分离变量法求解偏微分方程时,经常会遇到如下地Sturm-Liouville问题(特征值问题.设,其中是上地实地连续函数且在上,.考虑如下常微分方程边值问题(正则地Sturm-Liouville问题:SixE2yXPq5

其中为常数,实地连续函数,边界条件一般是指:

.

当然研究实际问题时也会遇到周期边界条件:或其他边界条件.记

关于Sturm-Liouville问题,最核心地结论是:不同特征值地特征函数关于权函数加权正交,且所有特征函数构成了空间地一组正交基.那么如何来认识这个抽象地结论呢?其实我们在线性代数中已经学习过一个类似地结论,即关于自共轭线性变换地特征向量地结论.设线性变换,若,则称是自共轭地.当是自共轭时,地特征向量构成了地一组正交基,参见文献[4].这是一个在维内积空间上地精妙结论,那么自然可以想到在无穷维内积空间上也有类似结论,即上地自共轭线性算子地特征函数构成地正交基.而这正是我们在上面地Sturm-Liouville问题地结论,唯一需要做地就是验证上面地常微分方程边值问题是一个自共轭问题,