精品解析：广东省深圳科学高中2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版）.docxVIP

深圳科学高中2023－2024学年第二学期期中考试题

（高二数学）

科目：高二数学考试时长：120分钟卷面总分：150分

命题人：李剑锋审题人：许安强

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合，则

A.B.C.D.

2.已知复数z满足，是虚数单位，则（）

A.B.C.D.

3.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（

）

A.B.C.D.

4.在中，若，且，则的面积为（）

A.B.C.D.

5.函数的图像大致为（）

A.B.

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C.D.

6.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（）

A.B.C.D.

7.有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同

的选派方法有（）

A.种B.种C.种D.72种

8.设，是一个随机试验中两个事件，且，，，则（）

A.B.

C.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量，则下列命题为真命题的是（）

A.若，则

B.若，则

C.的最大值为6

D.若，则

10.将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）

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A.该几何体的表面积为

B.该几何体体积为

C.过该多面体任意三个顶点截面中存在两个平面互相垂直

D.直线平面

11.用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名

数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分

别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．下列结论中正确的有（）

A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等

C.所得椭圆的离心率

D.其中为椭圆长轴，为球半径，有

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

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12.在展开式中，的系数为_________．

13.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则

____________.

14.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知数列满足，，．

（1）求的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求．

16.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，

，是的中点，作交于点．

（1）求证：平面

（2）求二面角的正弦值．

17.设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的

底数）

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18.已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色

来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，

其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1

个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此

重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被

分至乙队．

（1）求三人均被分至同一队的概率；

（2）记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．

19.阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点

和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实

上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到

对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为

；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线

，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线

是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质?定理：①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点

处的切线；②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所

在直线）；③当在内时，其极线是曲线过点的割