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《高等数学》期末复习汇总

可以出证明题的地方：

1.简单的极限证明

2.零点定理关于根的判定

3.利用单调性证明不等式

4.利用单调性、零点定理证明根的唯一性

5.利用罗尔定理、拉格朗日定理证明（注意构造函数）

解

由于

想得通吧？

极限问题中夹逼准则的运用

夹逼定理

解

解

夹逼定理

请自己做!

常用已知数列极限：

同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.

同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.

二、无穷小量的性质

常数与无穷小量之积仍为无穷小量.

在某极限过程中,以极限不

为零的函数除无穷小量所得到商

仍为一个无穷小量.

在某一极限过程中,无穷小量

与有界量之积仍是一个无穷小量.

1.无穷大量的定义

三、无穷大量

说明

注意

1.一个函数是无穷大量，必须指明自变量变化趋势;

2.不要把绝对值很大的常数说成是无穷大量，因为这个常数在变化过程中，极限为常数本身，并不是无穷大量.无穷大量是变量，是绝对值无限增大的变量.

设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限

limf(x)、limg(x)存在,则

有理化

这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行

通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算

法则求其极限.

(通分)

这是求幂指函数极限常用的方法:

也可以利用后面的初等函数连续性，得出结果：

综上所述,得到以下公式

一般地

其中,k≠0为常数.

结构对应

形式对应

乘一项除一项

加一减一

(1)

此题的另一解法：

又

故

常用的方法

首先平方

将常用的等价无穷小列举如下:

当x0时

回忆函数极限的四则运算

则

回忆函数极限的四则运算

则

现在怎么说?

1.连续函数的四则运算

设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,

则

即

在定理的条件下,

在定理的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序.

利用初等函数连续性，给出几个幂指函数的极限公式：

36

例13

证

由零点定理,

一、导数的四则运算法则

定理3.2.1若函u(x)数,v(x)在点x处均可导,则

定理3.2.2

设函数x=(y)在区间Iy内单调可导,

(y)0,

某区间Ix内也可导,且

则它的反函数y=f(x)在相应的

反函数的导数是其直接函数导数的倒数.

它是x=cosy,

解

例：

故

而

于是

三、复合函数的导数

或

定理3.2.3

设u=g(x)在点x处可导,y=f(u)在对应

点u(u=g(x))处也可导,复合函数y=f(g(x))

在点x处可导,且

解：

解

例：

例：

导数符号“”在不同位置表示对不同变量求导数。

f(ex)表示对ex求导；[f(ex)]表示对x求导。

求由方程

(x0)

所确定的隐函数的导数y,并求

将方程中的y看成x的函数y=y(x),利用复合函数的求导法则，方程两边关于x求导：

故

由原方程可得：F(0,y)=0ye0+ey=0

从而

解

例：

运用对数求导法

两边关于x求导：

故

解

例：

幂指函数求导一般采用对数求导方法：

导数与微分

46

例

导数与微分

47

例

基本初等函数的导数

导数的四则运算法则

反函数的导数

复合函数求导法

隐函数的求导法

取对数求导法

求导方法小结

按定义求导

如上告诉我们：求导问题基本上都是复合求导可以解决的

解：

二、隐函数确定的函数的高阶导数

对方程两边关于x求导,得:

对该方程两边关于x求导:

解

从而

其中,

解：对方程两边同时微分，利用微分形式的不变性，有

四、微分在近似计算中的应用

得

解

例2：已知某产品的销价P(x)=200，总成本函数为

C(x)=50000–60x+x2/20，

求：(1)、总利润函数L(x)；(2)、边际利润L(x)；

(3)、产量为多少时，利润最大。

3.边际利润

解：

(3)令L(x)=0，得x=2600，此时L(x)0，所

以，当产量为2600时，总利润最大。

设某商品的市场需求量为Q，价格为P，