高一数学-必修二复习资料.docxVIP

第二章

§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.2.1平面

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。

符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α=＞llα

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2推论：

经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。

经过两条相交的直线有且只有一个平面。

经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示：P∈α，且P∈β=＞α∩β=l，且P∈l

2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

异面直线定义：不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线。

共面直线定义：在同一平面内的两条直线叫做共面直线。

空间两条直线的位置关系有且只有以下情况：

共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公

异面直线

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。〔空间平行线的传递性。〕

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线所成的角定义：两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角〔或直角〕叫做异面直线a与b所成的角〔或夹角〕。——取值范围是﹙0°,90°]

如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条直线就互相垂直。

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有以下三种情况：

直线在平面内——有无数个公共点；

直线与平面相交——有且只有一个公共点；

直线与平面平行——没有公共点。

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

2.1.4平面与平面之间的位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

两个平面平行——没有公共点；

两个平面相交——有一条公共直线。

练习：

给出以下命题：

垂直于同一直线的两条直线互相平行；

垂直于同一平面的两个平面互相平行；

假设直线l1、l2与同一平面所成的角相等，那么l1、l2互相平行；

假设直线l1、l2是异面直线，那么与l1、l2都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是〔〕

A、1个B、2个C、3个D、4个

直线l，m，n及平面α，以下命题中是假命题的是〔〕

A、假设l∥m，m∥n，那么l∥n；

B、假设l∥α，n∥α，那么l∥n；

C、假设l⊥m，m∥n，那么l⊥n；

D、假设l⊥α，n∥α，那么l⊥n.

平面α，β，直线a，b；且α∥β，aα，bβ，那么直线a与b的位置关系是：

§2.2直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

2.2.2平面与平面平行的判定

定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

其他判定：

垂直于同一条直线的两个平面平行。

平行于同一个平面的两个平面平行。

两个平行平面α，β同时垂直的直线l，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的局部叫做这两个平行平面的公垂线段．公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．

练习：正方体ABCD-,求证：平面//平面。

证明：因为ABCD-为正方体，

所以，

又，所以，

，所以为平行四边形。

所以。又,,

由直线与平面的判定定理得，

同理：，又，所以平面。

2.2.3直线与平面平行的性质

定理：一条直线于一个平面平行，那么过这两条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

练习：如图，异面直线AB、CD都与平面平行，CA、CB、DB、DA分别交于点E、F、G、H．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

2.2.4平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

练习：如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.

证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，

那么ME∥AC，∴ME∥平面α，

又NE∥BD，∴NE∥β，

又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α，

∵MN平面MEN，∴MN∥α.

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，他们唯一的公共点P叫做垂足。

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

练习：1.圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C是圆周上一点,且PAAC,PAAB,求证：

〔1〕