初中数学竞赛标准教程及练习27：识图.pdf

初中数学竞赛精品标准教程及练习（27）

识图

一、内容提要

1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只

研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、

体，要靠正确的想像

点：只表示位置，没有大小，不可再分。

线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。

面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好

几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的

变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。

二、例题

例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三

角形？丁图中有几对等边三角形？

解：甲图中有10个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,

∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。

乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC

丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)

△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个：

边长1个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＋5＝15

顶点在下▼的个数有1＋2＋3＋4＝10

边长2个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＝10

顶点在下▼的个数有1＋2＝3

边长3个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＝6

边长4个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＝3

1

边长5个单位：顶点在上▲的个数有1

以上要注意数一数的规律

例2.设平面内有6个点AAAAAA，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点

1，2，3，4，5，6

都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可

连成几条线段？试画出图形。

解：从点A与其他5点连线有5条，从点A与其他4点（A除外）连线有4条，从A与其1213

他3点连线有3条（AA除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝

1，2

15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。

要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷

2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：AAAAAAAA

14，25，3654

A6A3

A1A2

例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O

点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O

相等。求甲和乙的速度比。

解：如图设甲乙为开始位置，甲乙为前进2分钟后位置，甲乙

0，01，12，2

乙2为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y

米，根据题意得

2x5002y





1010x5