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专题06函数的概念

【考点预测】

1.函数的概念

(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

(3)函数表示法：函数书写方式为，

(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.

(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

2.基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切的定义域是且；

（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；=2\*GB3②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

3.基本初等函数的值域

(1)的值域是.

(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．

(3)的值域是.

(4)且的值域是.

(5)且的值域是.

4.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．

【题型归纳目录】

题型一：函数的概念

题型二：同一函数的判断

题型三：给出函数解析式求解定义域

题型四：抽象函数定义域

题型五：函数定义域的应用

题型六：函数解析式的求法

1.待定系数法（函数类型确定）

2.换元法或配凑法（适用于了型）

3.方程组法

4.求分段函数的解析式

5.抽象函数解析式

题型七：函数值域的求解

1.观察法

2.配方法

3.图像法（数形结合）

4.基本不等式法

5.换元法（代数换元与三角换元）

6.分离常数法

7.判别式法

8.单调性法

9.有界性法

10.导数法

题型八：分段函数的应用

【典例例题】

题型一：函数的概念

例1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（????????）

A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的定义判断.

【详解】

若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，

若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，

故选：B.

例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（???????）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义即可得到答案.

【详解】

根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.

故选：C.

（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（???????）

A．，，，，

B．，

C．，

D．，，

【答案】ABD

【解析】

根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；

对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；

对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；

对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.

例4．（2022·浙江·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的概念，一个只能对应一个，所以找到在原点处的切线，使图像旋转过程中切线不能超过轴即可.

【详解】

解：在原点处的切线斜率为，切线方程为

当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.

所以的最大值为.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数的关键点：每一个都有唯一的一个确定的数和它对应，所以考虑函数的切线，当函数的切线超过轴时，一个会有2个和它对应，则不满足情况，所以旋转角度即为切线的旋转角.