2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题21相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(原卷版+解析).docxVIP

专题21相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型

梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。

梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．

梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．

图1图2

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，

如图2，则。

注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。

例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：．

例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在中，，．AM为BC边上的中线，于点D，CD的延长线交AB于点E．求．

例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E分别在的边AC、AB上，，，BD与CE交于点F，．求．

例4.（2023.江苏九年级月考）已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．

例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．

例6．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，

∴，．

请用上述定理的证明方法解决以下问题：

??

??

（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．

请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．

例7．（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．

例8.（2023.浙江九年级期中）如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。

例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.

例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：

塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．

定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．

数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．

任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．

课后专项训练

1．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）

A． B．2 C． D．

2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）

A． B． C． D．

3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为．

??

4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．