第17讲　圆锥曲线的综合问题（4大考点母题突破+强化训练）解析版.docx

第17讲圆锥曲线的综合问题（4大考点母题突破+强化训练）

[考情分析]1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．

知识导图

考点分类讲解

母题突破1：范围、最值问题

规律方法求解范围、最值问题的常见方法

(1)利用判别式来构造不等关系．

(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．

(4)利用基本不等式．

【例1】(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p0)交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(15).

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面积的最小值．

思路分析

?联立方程利用弦长求p

?设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标

?利用eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的关系

?写出S△MFN的面积

?利用函数性质求S△MFN面积的最小值

解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，

所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，

所以|AB|＝eq\r(5)×eq\r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝4eq\r(15)，

即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)．

(2)由(1)知y2＝4x，

所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得y2－4my－4n＝0，

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，

Δ＝16m2＋16n0?m2＋n0，

因为eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，

所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，

即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，

即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，

将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，

4m2＝n2－6n＋1，

所以4(m2＋n)＝(n－1)20，

所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，

解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).

设点F到直线MN的距离为d，

所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，

|MN|＝eq\r(1＋m2)eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)

＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)

＝eq\r(1＋m2)eq\r(4?n2－6n＋1?＋16n)

＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，

所以△MFN的面积

S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1＋m2)|n－1|×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，

而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，

所以当n＝3－2eq\r(2)时，△MFN的面积最小，为Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2)＝4(3－2eq\r(2))．

【变式1】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，设，显然当时，，当时，，

要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．

??

设，，，则，即，

解得．

，故，即，

，故，

当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为．

故选：B.

【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线的准线与轴的交点为．

(1)若点的横坐标大于1，当直线与抛物线的另一个交点恰好为线段的中点时，求直线的方程；

(2)求内切圆的圆心到坐标原点距离的最大值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，依题意得到关于的方程组，进而求得的坐标，结合即可得解；

（2）联立直线与抛物线的方程，证得内切圆的圆心在轴上，再利用角平分线定理得到，分析的取值情况，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.