山西省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）.docx

山西省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

—、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“”的否定为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】含量词的命题的否定是换量词，否定结论，故其否定为．

故选：D.

2.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由解得，

所以，所以，

故选：C.

3.已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由弧度制定义，该扇形的半径为，

所以该扇形的面积为.

故选：B.

4.“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】由，解得，所以“”不是“”的充分条件；

若，则，故“”是“”的必要条件，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B.

5.已知函数，若，则（）

A.－3 B. C. D.2

【答案】B

【解析】设，则，所以为奇函数，

因为，所以，解得，

所以，，

故选：B.

6.已知为锐角，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为为锐角，所以，又，

所以，

所以

故选：A.

7.已知函数若在上单调递减，则实数取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为在上单调递减，所以，解得，

故选：A.

8.某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为对恒成立，所以对，恒成立，

所以，又，当且仅当时，等号成立，

所以，所以，所以，所以．

即正数的取值范围为．

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知实数满足，则（）

A. B.

C. D.

【答案】AB

【解析】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确；

对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确；

对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误；

对于D，取，此时，故D错误．

故选：AB.

10.已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.在上单调递增

B.图象关于点对称

C.关于的方程在上有2个相异实根

D.将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数

【答案】ACD

【解析】由的图象得，，，

所以，故，

由，得，即的单调递增区间为，

令，得，又，故A正确；

因为，所以的图象关于直线对称，故B错误；

因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确；

将的图象向左平移个单位长度，得的图象，

显然为奇函数，故D正确．

故选：ACD.

11.狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（）

A.

B.方程有无数个实数解

C.

D.

【答案】BCD

【解析】对于A，若，所以，

若，所以，所以，故A错误；

对于B，若，所以任意有理数皆为方程的解，故B正确；

对于C，若，则，

若，则，

所以，所以，故C正确；

对于D，若，则，所以，若，则，所以，所以，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若函数为偶函数，则实数________．

【答案】

【解析】因为为偶函数，所以，即，所以，所以．

故答案为：.

13.若函数的定义域为，则的值域为________．

【答案】

【解析】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，

又函数在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，所以值域为，

故答案为：.

14.如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为________．

【答案】

【解析】设，

由题意知，

当与重合时，由，得，

当与重合时，同理可得，

所以，

因为

所以的周长，

令，因，所以，

又，

所以，且，

所以，所以当时，取得最小值，且，

故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知．

（1）求；

（2）求．

解：（1）因为，所以，

所以．

（2）.

16.已知函数的单调递减区间为开区间，集合．

（1）求；

（2）若区间，求实数的取值范围．

解：（1）由，得，所以的定义域为，

因为函数的单调递减区间为，且在上单调递增，

所以的单调递减区间为，即．

因为，所以，

由