2023-2024学年福建省福州延安中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

2023-2024学年福建省福州延安中学高三第四次模拟考试数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（）

A． B． C． D．

2．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）

A． B． C． D．

4．展开项中的常数项为

A．1 B．11 C．-19 D．51

5．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（）

A． B． C． D．

6．函数且的图象是（）

A． B．

C． D．

7．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()

A． B．

C． D．

9．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A．函数在上单调递减

B．函数在上单调递增

C．函数的对称中心是

D．函数的对称轴是

10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）

A． B． C． D．

11．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()

A．4 B．3 C．2 D．1

12．的二项展开式中，的系数是（）

A．70 B．-70 C．28 D．-28

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设，满足条件，则的最大值为__________.

14．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.

15．已知向量，，若，则实数______.

16．已知，则________.(填“”或“=”或“”).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在中，内角的对边分别为，且

（1）求；

（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.

18．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.

19．（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．

（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；

（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．

21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.

（1）求的周长；

（2）求面积的最大值.

22．（10分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．

参考答案

一、选择题