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专题11函数的图象

【考点预测】

一、掌握基本初等函数的图像

（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.

二、函数图像作法

1.直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.

2.图像的变换

（1）平移变换

①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；

②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；

③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；

④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；

（2）对称变换

①函数与函数的图像关于轴对称；

函数与函数的图像关于轴对称；

函数与函数的图像关于坐标原点对称；

②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有

或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；

若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有

③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示

④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.

注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.

⑤函数与的图像关于对称.

（3）伸缩变换

①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.

②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.

【方法技巧与总结】

(1)若恒成立，则的图像关于直线对称.

(2)设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称.

(3)若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称.

(4)函数与函数的图象关于直线对称.

(5)函数与函数的图象关于直线对称.

(6)函数与函数的图象关于点中心对称.

(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

【题型归纳目录】

题型一：由解析式选图（识图）

题型二：由图象选表达式

题型三：表达式含参数的图象问题

题型四：函数图象应用题

题型五：函数图像的综合应用

【典例例题】

题型一：由解析式选图（识图）

例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

通过判断不是奇函数，排除A，B，又因为，排除C，即可得出答案.

【详解】

因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.

，所以排除C.

故选：D.

例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数的图象大致是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的定义域与奇偶性，排除A、B选项；结合导数求得函数在上的单调性，排除D选项，即可求解.

【详解】

由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且满足，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；

当时，可得，则，

当时，，单调递减；排除A选项

当时，，单调递增，

所以排除D选项，选项C符合.

故选：C.

例3．（2022·天津·二模）函数的图象大致为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

令，该函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，排除AB选项，

当时，，则，排除C选项.

故选：D.

例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数则函数的大致图象为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.

【详解】

易知函数为奇函数，也是奇函数，

则函数为偶函数，故排除选项B，C；

因为，

当时，恒成立，所以恒成立，

且当时，，

所以当时，，故选项A正确，选项D错误，

故选：A．

例5．（2022·全国·模拟预测）函数的图象大致是(???????)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据f(x)的零点和时函数值变化情况即可判断求解．

【详解】

由得或2，故排除选项A；

当时，函数值无限靠近x轴，但与x轴不相交，只有选项B满足．

故选：B．

例6．（2022·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.

【详解】

由已知条件得函数的定义域关于原点对称，

∵，

∴为偶函