2025年山东省青岛市青岛第五十八中学一模数学试题.docx

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2025年山东省青岛市青岛第五十八中学一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则的子集的个数为（????）

A．3 B．4 C．8 D．16

2．已知，则的虚部为（????）

A． B． C． D．2

3．已知向量，，若与同向共线，则（????）

A．3 B． C．或3 D．0或3

4．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．已知今天是星期三，则天后是（????）

A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五

6．已知，，，则（????）

A． B． C． D．

7．已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（???）

A．13 B．11 C．9 D．7

二、多选题

9．若是样本数据的平均数，则（????）

A．的极差等于的极差

B．的平均数等于的平均数

C．的中位数等于的中位数

D．的标准差大于的标准差

10．已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（???）

A．若，则当且仅当时，取得最大值

B．若，则当且仅当时，取得最大值

C．若，则当且仅当时，取得最大值

D．若，，则当或14时，取得最大值

11．已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（????）

A．

B．是偶函数

C．的图象关于点中心对称

D．是的一个周期

三、填空题

12．已知随机变量，则的值为.

13．已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为．

14．双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为．

四、解答题

15．已知数列中，为的前项和，，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求证：.

16．如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．

(1)证明：；

(2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

17．袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．

(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；

(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．

18．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且，.

（1）证明：直线与椭圆相切；

（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.

（i）证明：椭圆的离心率为定值；

（ii）记的面积为，若，证明：.

19．已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”．

(1)设函数．

（i）当时，求在上的最大“Ω点”；

（ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围；

(2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于．

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《2025年山东省青岛市青岛第五十八中学一模数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

A

D

A

D

D

C

AB

BD

题号

11

答案

ABC

1．D

【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数.

【详解】因为，

，

所以，所以的子集个数为．

故选：D．

2．D

【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.

【详解】由，

则，的虚部为2.

故选：D.

3．A

【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.

【详解】因为向量，，

由，可得或，

当时，，，，满足题意，

当时，，，，不满足题意，

所以.

故选：A.

4．D

【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.

【详解】由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

5．A

【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论