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专题五解析几何

第十一讲直线与圆

1.【解答】解：对于：直线的倾斜角为，则，，

因为，所以，故正确；

对于：当时，直线与直线斜率分别为1，，斜率之积为，

故两直线相互垂直，所以充分性成立，

若“直线与直线互相垂直“，则，

故或，所以得不到，故必要性不成立，故错误；

对于：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，

所以可得，所以直线方程为，

当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，

所以可得，所以直线方程为，

所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故错误；

对于：经过平面内任意相异两点，，，的直线，

当斜率等于0时，，，方程为，能用方程表示，

当斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，

当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，

也能用方程表示，故正确．

故选：．

2.【解答】解：．若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，

即，得，故错误；

．，整理为，

不管为何值，直线始终过点，

当是线段的中点时，此时弦长最短，

圆，圆心是，半径，

圆心和点的距离是，

所以最短弦长，故正确；

．当时，直线，

曲线，即，

所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故正确；

．若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，

的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，

圆的方程为，整理为，

直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得，

所以直线的方程是，

将直线所过的定点坐标代入上式得，得，

所以直线，即直线的斜率为，即，则，故正确．

故选：．

3.【解答】解：对于：设，由，得，

化简得，故正确；

对于：由上可知点的轨迹为圆，圆心坐标为，半径，

点与原点距离，

过点的直线被点的轨迹所截得弦的长度的最小值，故错误；

对于：圆心到直线的距离为，

所以直线与点的轨迹相离，故正确；

对于：设，则，

所以四边形面积，当时，等号成立，故正确．

故选：．

4.【解答】解：直线，即，

直线，即，

，，，，

则直线与直线分别过定点，，且两直线垂直，

交点的轨迹是以为直径的圆，即点的轨迹方程为，圆心，

因为点是上的一点，直线是的切线，所以问题可转化为圆上任一点作直线与圆相切，求切线长的取值范围．

设圆的半径为，则，

因为圆的圆心为，其半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线长取得最小值和最大值，

又因为，即，即，

所以，

即．

故选：．

5.【解答】解：对于选项，当在轴上时，，则，，则，故选项正确；

对于选项，设，且，则，，代入得，

可得在以坐标原点为圆心、为半径的圆上运动，又圆交轴于，，故

，故选项错误；

对于选项，由圆的直径式方程可知，以为直径的圆的方程可写为，

令，可得，即，

则，分别为方程的两根，由韦达定理得，故选项正确；

对于选项，要证，即证，

，

，

，即，故选项正确．

故选：．

6.【解答】解：对于，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称，故选项正确；

对于，当时，代入方程可得，所以，即曲线经过点，，

当时，方程变为，所以△，解得，

因为只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过点，，

根据对称性，可得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，故选项正确；

对于选项，当时，由，可得，当且仅当取等号，

所以，所以，

故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，

根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故选项错误；

对于，在轴上方图形的面积大于矩形的面积，

在轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积，

因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故选项正确．

故选：．

【精选练习】

7.【解答】解：：根据圆的性质知：点坐标为时最小，此时圆的面积最小，正确；

：若圆的半径为且，

如下图，当为圆在轴右侧交点，此时，显然直线垂直于轴，在点右侧；

如下图，当为圆在轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于轴，在点左侧；

所以直线不可能过定点，错误；

：由对称性，不妨设，则，

所以圆方程为，又直线为两圆相交弦，

则圆、圆相减并整理得：直线，

所以到直线的距离为定值，正确；

：由题意，与交于且垂直平分，

令，则，可得，故，

所以，正确；

故选：．

8.【解答】解：因为，、，在圆上，，

因为，则是等腰直角三角形，

表示、到直线的距离之和的倍，

原点到直线的距离为，如图所示：

，，是的中点，作于，

且，，，

，，

的最大值为．

故选：．

9.【解答】解：圆的圆心，半径为：，

为圆的一条弦，为线段的中点，若为坐标原点），

可知，所以，即在圆上存在、，满足，可得，

所以，

可得，

解得，．

故答案为：，．

10.【解答】解：由托勒密定理，得．

因为，所以．

设圆的半径为，由正弦定理，得．

又，所以．

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，则，故．

故选：．

第十二讲圆锥曲线的方程与性质

1.【解答】解：由，可得，而，可知在的平分线上．

圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，

因为且，所以，且