北京市海淀区北京57中2024届高三第五次模拟考试数学试卷含解析.docVIP

北京市海淀区北京57中2024届高三第五次模拟考试数学试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为()

A． B． C． D．

2．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（）．

A． B．

C． D．

3．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

4．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）

A． B． C． D．

5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）

A． B． C． D．

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

7．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

8．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（）

A．3 B． C．6 D．

9．已知复数满足，则=（）

A． B．

C． D．

10．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）

A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm

11．设是虚数单位，，，则（）

A． B． C．1 D．2

12．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于()

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________

14．已知等差数列满足，，则的值为________．

15．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.

16．函数的定义域是____________．（写成区间的形式）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.

表中，.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

18．（12分）已知函数.

（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的定义域和值域.

19．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.

（1）求的方程；

（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.

20．（12分）已知函数，．

（1）若，，求实数的值．

（2）若，，求正实数的取值范围．

21．（12分）已知函数.

（1）讨论的零点个数；

（2）证明：当时，.

22．（10分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，

（1）求椭圆的方程.

（2）当时，求的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.

【详解】

由（）★★，得（+2）★★，

又★，所以★，★，★，，以此类推，2020★2018★2018，

又◆◆，◆，

所以◆，◆，◆，，以此类推，◆2020，

所以（◆2020）（2020★2018），