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新定义压轴题突破

交汇命题背景新定义题

数列类

1．（2024?广州三模）数列满足，则称数列为下凸数列．

（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；

（3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：．

2．（2024?南平三模）若数列共有，项，对任意，都有为常数，且，则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列．

（1）若，，，求的值；

（2）已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；

（3）若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：．

函数类

3．（2024?浙江Z20名校联盟三模）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．

（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；

（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；

（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围．

4．（2024?重庆模拟）函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以．已知函数，，，为自然对数的底数）．

（1）证明：在处的极限为；

（2）若，，，求的最大值；

（3）若，用函数极限的定义证明：．

集合类

5．（2024?青岛一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．

定义运算；若，，则，．

（1）若，用，，，，，，表示；

（2）证明：；

（3）若，证明：．

6．（2024?福建模拟）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素．

（1）若，求的元素个数及；

（2）当恰有一个元素时，的取值集合记为．

求；

若，数列满足，集合．求证：．

解析几何类

7．（2024?乌鲁木齐模拟）在平面直角坐标系中，重新定义两点，，，之间的“距离”为，我们把到两定点，，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．

（Ⅰ）求“椭圆”的方程；

（Ⅱ）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

（Ⅲ）设，，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为，的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．

8．（2024?宁德模拟）坐标平面上的点也可表示为，其中，为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与重合的旋转角．将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换．

（1）证明旋转变换公式：，并利用该公式，求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标；

（2）旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系．利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究．

求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；

已知曲线，点，直线交曲线于，两点，作的外角平分线交直线于点，求的最小值．

向量类

9．（2024?深圳模拟）对于给定的正整数，记集合，，，，，，，2，3，，，其中元素称为一个维向量．特别地，称为零向量．

设，，，，，，，，，定义加法和数乘：，，，，，，，．

对一组向量，，，，，若存在一组不全为零的实数，，，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

（Ⅰ）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．

①，；

②，，；

③，，，．

（Ⅱ）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．

（Ⅲ）已知个向量，，，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：

（ⅰ）如果存在等式，，2，3，，，则这些系数，，，或者全为零，或者全不为零；

（ⅱ）如果两个等式，，，，2，3，，同时成立，其中，则．

10．（2024?山东模拟）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，，，其中，，，，，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．

（1）若，，，求；

（2）如果，，，计算的特征值，并求相应的；

（3）若，，，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件．

概率统计类

11．（2024?江苏模拟）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标，，表示，其中，．而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，，，，，其中，，现有如下定义：在维空间中，，，，，，，，，，两点的曼哈顿距离为．

（1）在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；

（2）在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．

求出的分布列与期望；

证明：随机变量的方差小于．

12．（2024?华