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浅谈初高中数学思想方法

姓名：周颖学号：56

几千年的数学发展史告诉我们：数学思想方法存在和活跃在整个数学发展的进程之中，例如古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公理化方法，把大量的、零散的几何知识系统化，最后成就了欧式几何；中国古代数学家刘徽提出的“割圆术”，从而解决了长期以来圆周率不准确的问题，其中也包含着极限思想的萌芽，笛卡尔采用变量的思想方法来看几何曲线，引进了坐标系，从而创立了代数方法研究几何问题的新数学分支——解析几何，牛顿、莱布尼茨提出了无穷小量的方法，创立了非欧几何理论，并解决了两千多年来几十代数学家为之困扰的欧式几何第五公设问题；希尔伯特别重视解题方法的研究，他曾在1900年巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展史中的作用，并列举了23个重大数学问题，对推动20世纪数学的发展产生了巨大的影响，人们普遍认为这个演讲本身就是一篇数学思想方法的重要著作。

数学思想方法

随着近代和现代数学的发展，数学方法论作为一门独立的学科已经建立并有了相应的发展，其中最重要的标志之一就是出现了许多具有划时代意义的数学思想方法，导致了数学基础学科的重大变革。

数学思想方法的含义

我们知道，数学发展的动力，无疑来自人类的生产实践活动，而数学思想和数学方法是其中重要的因素。而数学思想是人们通过数学活动(包括发现、研究数学知识、应用数学知识解决问题和教授与学习数学知识三项活动)认识世界的过程中所形成的基本观点；数学思想方法是为数学活动提供的思路、方式、逻辑手段和操作原则。

这里所说的数学思想方法（广义地讲，任何数学知识都是思想方法）是贯穿于数学知识之中的微观线索。思想方法以知识为基础，隐含在知识之中，反过来又指导、促进知识的发展深化及向能力的转化。方法是实施思想的手段，思想是对应方法的精神实质和理论依据。数学思想方法是数学的生命和灵魂，它具有普遍意义和永恒的价值。

一般的数学思想方法

数学的方法分为一般的思想方法和具体的方法（包括解题方法）有几百种之多，不多述。

常见的一般的初高中数学思想方法如下：

公理化方法

化归方法

数学思想方法特殊化与一般化方法

数学思想方法

数形结合方法

分类讨论的思想方法

反证法

公理化方法

公理化方法是把某一数学分支的理论按照一组选定的公理进行序化的数学思想，相应的方法是建立演绎科学理论的一种方法，称作公理化方法。

在具体的研究工作中，公理化方法，特别是它的逻辑思维有着重要作用。

如图所示：

定律或假设数学资料

定律或假设

数学资料

公理

综合

公理

观察结果和实验数据

该图表明，由“果”到“因”。即对所得的观察材料，运用数学的公理推导方法，归纳出定律。

由“因”到“果”如下图所示。

4.极端化原则

在数学中有很多“极端”情况。例如：点是圆的半径为零的极端情况；切线是割线的极端情况等。在解决有些数学问题时，常能从对问题的“极端”情况的考察（即对特例的分析）中获得有益的启示。所谓极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。

例2.两人轮流在一张圆桌上摆放大小相同的硬币，每次只能平放一个，不能重叠，在桌上放下最后一枚硬币者为游戏的胜利者。试问：先放者取胜，还是后放者取胜？

分析：我们先考虑极端情形。假设桌面恰好与硬币一样大，则先摆者必胜，只要将硬币摆放在桌子的中心即可。从极端情形中我们可以获得启示：先摆的人可以把第一枚硬币占据桌子的中心，由于桌面是中心对称，以后不论对方把硬币放于何处，先摆的人总把硬币摆在与其成中心对称的位置，故先摆者必胜。

5.和谐化原则

所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

特殊化与一般化方法（归纳法）

特殊化方法

对于一个具有一般对象的问题，从简单情况或特殊对象入手，寻求思路和方法予以解决，这种方法称之为特殊化方法。

对于一个一般的、抽象性问题，其中的对象、因素、概念、结构比较复杂，它们的关系比较隐蔽，由条件到达结论的途径不清晰。这时，往往从特殊情况入手，用特殊化的方法探索解题的思路和途径，并选择突破口，进而解决一般问题。

特殊化方法不仅是解题，检验问题的重要方法，而且还是探索规律进行创造性思维的有效工具，历来被数学家所推崇。

2.一般化方法

对于一个不易解决的特殊命题，将之一般化，即从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者考虑一个较小集合过渡到考虑一个包含该较小