（人教版）数学八年级下册期末培优训练专题11 特殊平行四边形中折叠、旋转问题(解析版).docVIP

专题11解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【考点一矩形中的折叠问题】 1

【考点二菱形中的折叠问题】 8

【考点三正方形中的折叠问题】 15

【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 22

【考点五特殊平行四边形中旋转问题】 26

【典型例题】

【考点一矩形中的折叠问题】

例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．

【答案】3

【分析】由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；

【详解】解：由折叠可知，，

，

，

，

，

，

．

设，则，，

在中，由勾股定理得：即，

解得：，

．

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．

【变式训练】

1．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先长方形的性质和已知条件得到，，根据折叠的性质得到，然后由勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出，然后根据勾股定理求解即可．

【详解】∵在长方形中，

∴，

∵

∴

∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处

∴，

∴

∴设，

∴

∴，即

∴解得

∴

∴

故选：A．

【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．

2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．

【答案】37

【分析】由折叠的性质得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数．

【详解】解：四边形是长方形，

，

由折叠的性质得：，

，

，

，

，

为的中点，

，

，

，

；

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出的度数是解题的关键．

3．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．

【答案】或3

【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．

【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：

当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，

在中，，

∴，

∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，

∴，

当为直角三角形时，只能得到，

∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，

∴，

∴，

设，则，

在中，

∵，

∴

解得：；

②当点F落在边上时，如答图2所示．

此时为正方形，

∴．

故答案为：或3；

【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

4．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．

(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；

(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出，则可得出结论；

（2）设，由勾股定理得出，求出即可得出答案．

【详解】（1）证明：四边形是矩形，

，

，

将纸片沿折叠，

，

，

；

（2）解：四边形是矩形，

，

是的中点，

，

由折叠的性质可知：，

设，

，

，

解得，

．

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

5．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）综合与实践：

我们已经学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．

(1)知识初探如图1，长条中，，，将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．

①若，求的度数．

②若，则（用含α的式子表示）．

(2)类比