第05讲 双曲线方程及其性质（教师版）.docx

第05讲双曲线方程及其性质

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第12题,5分

求双曲线的离心率

无

2024年新Ⅱ卷，第19题,17分

求直线与双曲线的交点坐标

由递推关系证明等比数列

向量夹角的坐标表示

2023年新I卷，第16题,5分

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

无

2023年新Ⅱ卷，第21题,12分

根据a、b、c求双曲线的标准方程

直线的点斜式方程及辨析

双曲线中的定直线问题

2022年新I卷，第21题,12分

求双曲线标准方程

求双曲线中三角形(四边形)的面积问题

根据韦达定理求参数

2022年新Ⅱ卷，第21题,12分

根据双曲线的渐近线求标准方程

求双曲线中的弦长

由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

根据韦达定理求参数

2021年新I卷，第21题,12分

求双曲线的标准方程

双曲线中的轨迹方程

双曲线中的定值问题

2021年新Ⅱ卷，第13题,5分

根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程

由双曲线的离心率求参数的取值范围

2020年新I卷，第9题,5分

判断方程是否表示双曲线

二元二次方程表示的曲线与圆的关系

判断方程是否表示椭圆

2020年新Ⅱ卷，第10题,5分

判断方程是否表示双曲线

二元二次方程表示的曲线与圆的关系

判断方程是否表示椭圆

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算

3.能熟练计算双曲线的离心率

4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用

5.会求双曲线中的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练

知识讲解

双曲线的定义

数学表达式：

双曲线的标准方程

焦点在轴上的标准方程焦点在轴上的标准方程

标准方程为：标准方程为：

双曲线中，，的基本关系

双曲线的几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

范围

顶点坐标

，

，

，

，

实轴

实轴长，实半轴长

虚轴

虚轴长，虚半轴长

焦点

，

，

焦距

焦距，半焦距

对称性

对称轴为坐标轴，对称中心为

渐近线方程

离心率

离心率对双曲线的影响

越大，双曲线开口越阔

越小，双曲线开口越窄

离心率与渐近线夹角的关系

通径：

（同椭圆）

通径长：，

半通径长：

双曲线的焦点到渐近线的距离为

考点一、双曲线的定义及其应用

1．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（????）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.

【详解】，

当点在左支时，的最小值为，

当点在右支时，的最小值为，

因为，则点在双曲线的左支上，

由双曲线的定义，解得；

当，点在左支时，；在右支时，；推不出；

故为充分不必要条件，

故选：D.

2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左?右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（????）

A．5 B．16 C．21 D．26

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义分析求解.

【详解】由题意可知：，即，

所以的周长.

故选：D.

3．（2024高三·全国·专题练习）若动点Px,y满足方程，则动点P的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以A?2,0与为焦点的双曲线，得到答案.

【详解】由题意得点Px,y到点A?2,0与点的距离之差的绝对值为3，且，

故动点P的轨迹方程是以A?2,0与为焦点的双曲线，

故，

所以，

所以双曲线的方程为.

故选：A.

1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.

【详解】对于双曲线，则，

根据双曲线定义有，

又，，故．

故选：B

??

2．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则．

【答案】9

【分析】根据焦距及双曲线的