初中数学竞赛标准教程及练习11：二元一次方程组解的讨论.pdf

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11

二元一次方程组解的讨论

一、内容提要

axbyc

111

1．二元一次方程组的解的情况有以下三种：

axbyc

222

abc

1当111时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）

abc

222

abc

2当111时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）

abc

222

ab

3当11（即ab－ab≠0）时，方程组有唯一的解：

1221

ab

22

cbcb

1221

abxab

1221

（这个解可用加减消元法求得）

caca

2112



abyab

1221



2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解

含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）

二、例题

5x7y



例1.选择一组a,c值使方程组

axyc2



1有无数多解，②无解，③有唯一的解

解：①当5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解

解比例得a=10,c=14。

2当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。

解得a=10,c≠14。

③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，

即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

xya



例2.a取什么值时，方程组的解是正数？

53x31y



解：把a作为已知数，解这个方程组

1

313a313a



xx00

22

得∵∴

531ay0531a

y0

