高三-分类讨论.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义

授课

类型

C分类讨论

授课日期时段

教学内容

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，开展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

1.分类讨论的思想方法是中学数学的根本方法之一，是历年高考的重点

⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；

⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；

⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；

⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

2.分类讨论的思想的本质

分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．

3.运用分类讨论的思想解题的根本步骤

⑴确定讨论对象和确定研究的全域；

⑵对所讨论的问题进行合理的分类〔分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级〕；

⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；

⑷归纳总结，整合得出结论．

4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：

⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；

⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；

⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；

⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；

⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；

⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

5.分类讨论思想的类型

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；

⑵问题中的条件是分类给出的；

⑶解题过程不能统一表达，必须分类讨论的；

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。

专题精讲

例1：因范围产生的分类

1.函数,那么的值域是

解析：

答案：

点评：此题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。

例2：解析式中含有未知数

1.是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．

解析：由函数的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就和两类情况进行讨论。

答案：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，

a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=或或或或a≥1.

所以实数a的取值范围是或a≥1.

点评：此题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等根底知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。

2.设函数．

〔=1\*ROMANI〕假设当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

〔=2\*ROMANII〕假设存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质。极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论那么需要考察相应导数的符号问题。

答案：〔Ⅰ〕，依题意有，故．

从而．的定义域为．

当时，；

当时，；

当时，．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．

〔Ⅱ〕的定义域为，．

方程的判别式．

〔ⅰ〕假设，即，在的定义域内，故无极值．

〔ⅱ〕假设，那么或．

假设，，．

当时，，当时，，所以无极值．

假设，，，也无极值．

〔ⅲ〕假设，即或，那么有两个不同的实根

，．

当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，

由极值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为：

点评：此题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.

求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。

一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程在的定义域内有解；二是在方程的根的两边导数的符号要相反。因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。

例3：与数列的结合

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