2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）431等比数列的概念（八大题型）.docx

4．3．1等比数列的概念

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：等比数列的判断 2

题型二：等比数列的通项公式及其应用 3

题型三：等比数列的证明 5

题型四：等比中项及应用 6

题型五：等比数列的实际应用 7

题型六：等比数列通项公式的推广及应用 8

题型七：等比数列性质的应用 10

题型八：灵活设元求解等比数列问题 11

【重难点集训】 12

【高考真题】 20

【题型归纳】

题型一：等比数列的判断

1．（2024·高二·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，

对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误；

对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误；

对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误；

对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确；

故选：D

2．（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（????）

A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列

C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列

【答案】D

【解析】因为数列是等差数列，设其通项公式为，

所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;

因为数列为等比数列，设其通项公式为，

所以是定值，

所以数列一定是等比数列，选项正确;

因为，所以，

所以数列一定是等差数列，选项正确;

当时，，则不是等比数列，选项错误，

故选:.

3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设的公比为，的公比为，

对于A，令，则，

显然不是等比数列；

对于B，，故是等比数列；

对于C，，故是等比数列；

对于D，，故是等比数列.

故选：A.

4．（2024·高三·山东济宁·开学考试）“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)，

则，

所以当时，，为常数，

由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

故充分性成立；

若数列是等比数列，设，

当，时，满足，

但都不是等比数列，故必要性不成立.

所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.

故选：A

题型二：等比数列的通项公式及其应用

5．（2024·高二·全国·课后作业）已知，是等比数列图象上的两点，则．

【答案】

【解析】由题意知，，∴，∴，

∴．

故答案为：

6．（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中，

(1)已知，求

(2)已知，求.

【解析】（1）设公比为，则，所以，

解得，由，

所以可知或；

（2）设公比为q，由题意得：，

两式相除得：，所以，

又因为，所以，

解得.

7．（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中：

(1)若，，求和；

(2)若，，求．

【解析】（1）因为，则，解得，

当时，；

当时，．

综上所述：或.

（2）因为，则，即．

又因为，则，即．

两式相除得，所以．

题型三：等比数列的证明

8．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，．

(1)求，并猜想的通项公式（不需证明）；

(2)证明：数列是等比数列．

【解析】（1）由得．

结合可猜想数列的通项公式为．

（2）因为，

所以为正项递增数列，所以，

所以，

故数列是等比数列．

9．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数.

(1)证明：对任意实数，数列不是等比数列；

(2)试判断数列是否为等比数列.

【解析】（1）∵且，∴，．

假设存在一个实数，使数列是等比数列，

则，即，即，得，矛盾．

故对任意实数，数列不是等比数列．

（2）∵，

∴，

∵，

∴当时，，此时数列不是等比数列；

当时，，此时，数列是等比数列．

10．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列.

【解析】由，，可得．

因为，，所以，，

所以是首项为1，公比为3的等比数列．

题型四：等比中项及应用

11．（2024·高二·四川绵阳·期中）已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为（????）

A．或 B．3或 C． D．9或

【答案】B

【解析】不妨设这三个数分别为，且，

三个数的乘积为，

由三个数的平方和为91，

所以，解得，或，

又，所以，或，

故选：B

12．（2024·高二·福建厦门·期末）已