2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题24最值模型之将军饮马模型(原卷版+解析).docxVIP

专题24最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

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例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（）

A． B． C．2 D．

例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

??

例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（????）

A．3 B．5 C． D．

例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（????）

??

A． B．3 C． D．

例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是．

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例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．

例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

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(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；

模型2.求多条线段和（周长）最小值

【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型

1）已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

2）已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】

(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：

∵点P关于边、的对称点分别为，，

∴，，，，

∴即周长的的最小值为

∵，∴∴是等腰直角三角形．

学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．

(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为．

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例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个