专题19 导数综合（学生版）.docx

专题19导数综合

一、解答题

1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函数

(1)若，且，求的最小值；

(2)证明：曲线是中心对称图形；

(3)若当且仅当，求的取值范围．

2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

一、解答题

1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

六、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

七、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

对于，构造．

模型11.（1）（2）

一、解答题

1．（2024·浙江·三模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．

2．（2024·河北张家口·三模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：．

3．（2024·广东汕头·三模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求的最小值．

4．（2024·山西吕梁·三模）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.

5．（2024·广西钦州·三模）已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，证明：在上有3个零点.

6．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中．

(1)若，求实数a的值

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．

7．（2024·河北·三模）已知函数．

(1)当时，证明：．

(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．

8．（2024·四川南充·模拟预测）已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，函数与函数有相同的最大值，求的值.

9．（2024·广东汕头·三模）已知函数.

(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.

(2)若在只