拉普拉斯积分变换.ppt

延迟性质若，又时则对于任一非负实数有或证，所以上式右端第一*01由于02时，03个积分为零。对于第二个积分，令04，则函数与f(t)相比，f(t)是从t=0开始有非零数值，而是从开始才有非零数值，即延迟了一个时间。从它们的图象来讲，的图象是由f(t)的图象沿t轴向右平移距离而得。象函数乘以指数因子。这个性质表明，时间函数延迟的拉氏变换等于它的例求函数*的拉氏变换。01解由于02根据延迟性质，有03二、拉氏逆变换*由拉氏变换的概念可知，函数的拉氏变换就是的傅氏变换。求它的象原函数f(t)。在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数于是，当满足傅氏积分定理的条件时，按傅氏积分公式，在连续点处有:令，有这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。等式两边乘以，并考虑到它与积分变量无关，则此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来01比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用02留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s)03为有理函数时更为简单。04定理*若是函数的所有奇点（适当选取使这些奇点全在的范围内），且当时，，则有即由拉氏反演积分公式得解:F(s)有两个一级极点的逆变换。例1：求CBAD例2：求01的逆变换。02解:s=0为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积分公式得03例3：求*的逆变换。01解:利用部分分式的方法将F(s)化成01所以01卷积1拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。2例2*§拉普拉斯(Laplace)积分变换拉氏变换的概念定义设函数当时有定义，而且积分（s是一个复参量）在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）记为F(s)称为的拉氏变换（或称为象函数）。拉氏变换*若F(s)是的拉氏变换，则称为F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为可以看出，的拉氏变换，实际上就是的傅氏变换。例1求单位阶跃函数*01的拉氏变换。03此积分在05所以02解由拉氏变换的定义04时收敛，且例2求指数函数*04时收敛，且有01的拉氏变换（k为02解05所以06实数）。03积分在2.拉氏变换的存在定理*可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？满足下列条件：*当1时，2的增长速度不超过某一指数函3，使得4成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级5的，c为它的增长指数）。6拉氏变换的存在定理若函数7在8的任一有限区间上分段连续；9数，亦即存在常数M0及10则1的拉氏变换2并且在3的半平面内，4为解析函数。5在半平面上一定存在，右端的积分在上绝对收敛而且一致收敛，6例3求正弦函数*01（k为实数）的拉02解03同样可得余弦函数的拉氏变换：04氏变换。例6求单位脉冲函数*，有的拉氏变换。解利用性质：例7求函数*的拉氏变换。解在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。3．拉氏变换的性质*为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c。以下均设a.线性性质若是常数，则有根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。b．微分性质*证由定义并利用分部积分法得这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减去函数的初值。推论:01特别，当初值02时，有03此性质使我们有可能将04的微分方程转化为F(s)的05代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。06例求函数*的拉氏