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专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题

1.如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,沿BD将△ABD折起,使点A

到达点P的位置,且PC⊥BC.

(1)求证:PD⊥CD;

(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60°,求直线PC与平面MCD所成角的

正弦值.

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是边长为2的等边

三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E为线段PC上一点.

(1)设平面PAB∩平面PDC=l,求证:l∥平面ABCD.

(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°?若存在,求的值;若不存在,

请说明理由.

3.在三棱柱ABC-ABC中,AB=AC=2,BC=22,BB=2,M为CC的中点.

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(1)试确定线段AB1上一点N,使AC∥平面BMN;

(2)在(1)的条件下,若平面ABC⊥平面BBCC,∠ABB=60°,求平面BMN与平面

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BBCC的夹角的余弦值.

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4.(2024·广西名校模拟)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC=22.点E为CD的中点,现将

△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,得到四棱锥D-ABCE如图2所示,点P为

棱DB上一点.

图1

图2

(1)证明:AD⊥BE.

(2)是否存在点P,使得直线EP与平面BCD所成角的正弦值为33?若存在,求DP∶DB

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的值;若不存在,请说明理由.

5.(2024·新高考Ⅱ,17)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90°,∠

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BAD=30°,点E,F满足,将△AEF沿EF对折至△PEF,使得PC=4.

=,=3

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(1)证明:EF⊥PD;

(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

6.如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记=λ.

将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC,如图②

所示,N为MC的中点.

图①

图②

(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值.

(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二

面角B-MD-E的正弦值.

专题突破练1