有限差分法基本原理.pptVIP

差分和逼近误差用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。差分和逼近误差差分和逼近误差逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。由函数的Taylor级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用差商代替导数的精度。差分和逼近误差差分和逼近误差差分和逼近误差差分和逼近误差差分和逼近误差二阶中心差分：差分和逼近误差二阶中心差分：差分方程的建立过程差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。模型方程为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：对流方程：12345热传导方程：对流－扩散方程：Poisson方程：Laplace方程：差分方程的建立过程以对流方程说明差分方程的建立过程。针对某一点，用差商近似代替导数对流方程在点为差分方程的建立过程划分网格选定步长和，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格：010204空间导数用一阶中心差商近似代替：则对流方程在点对应的差分方程为时间导数用一阶向前差商近似代替：差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：观察上述差分格式可看出：若知道第层的，可由一个差分式子直接算出第层的，故称这类格式为显示格式。显式有限差分模板：时间推进：例考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可01以把断面上的所有点的温度看成是相同的。轴取为沿杆轴方向，对应杆的端点，则杆内温度分布随时间变化由下面的扩散方程来描述：02时间导数用一阶向前差商近似代替：1空间导数用二阶中心差商近似代替：2取，则最终的差分方程：3显式有限差分模板：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.8有限差分法基本原理流体的控制方程流体的控制方程数值离散概述有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。离散网格点设有的解析函数，函数对的导数为：、分别是函数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的、分别称为函数及其自变量的差分，为函数对自变量的差商。差分概念：差分和逼近误差差分的三种形式（一阶）：向前差分向后差分中心差分与其对应的差商的三种形式（一阶）：向前差商向后差商中心差商差分和逼近误差差分和逼近误差由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。*