高一数学讲义（人教A版2019）42指数函数（十大题型）.docx

4．2指数函数

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 2

【思维导图】 2

【知识点梳理】 3

【典型例题】 5

题型一：指数函数定义的判断 5

题型二：利用指数函数的定义求参数 6

题型三：求指数函数的表达式 8

题型四：指数型函数过定点问题 10

题型五：指数函数的图象问题 11

题型六：指数函数的定义域、值域 14

题型七：指数函数的单调性及其应用 18

题型八：比较指数幂的大小 21

题型九：解指数型不等式 23

题型十：判断函数的奇偶性 25

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一、指数函数的概念：

函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．

知识点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

①如果，则

②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．

③如果，则是个常量，就没研究的必要了．

知识点二、指数函数的图象及性质：

时图象

时图象

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

④在定义域上是单调增函数

⑤时，

时，

⑤时，

时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

知识点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

（2）当时，，；当时，．

当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

（3）指数函数与的图象关于轴对称．

知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律

（1）

①，②，③，④，则：

又即：时，（底大幂大）

时，

（2）特殊函数

，，，的图像：

【方法技巧与总结】

1、指数式大小比较方法

（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．

（2）中间量法

（3）分类讨论法

（4）比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若；；；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．

2、简单指数不等式的解法

（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；

（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；

（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．

【典型例题】

题型一：指数函数定义的判断

【典例11】（2024·高一·广东广州·期中）下列是指数函数的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D.

答案：D.

【典例12】（2024·高一·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】形如的函数为指数函数.

故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数.

故选：D.

【方法技巧与总结】

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．

【变式11】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.

对A,选项不满足形式；

对B，符合定义；

对C,系数为,不满足定义；

对D，指数为,不满足定义.

故选：B.

【变式12】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）给出下列函数，其中是指数函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A，是幂函数，故错误，

对于B，显然前面系数不为1，故错误，

对于C，显然前面系数不为1，故错误，

对于D，符合指数函数定义，故正确.

故选：D

【变式13】（2024·高一·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是

（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．

故选：D．

【变式14】（2024·高一·宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为指数函数的形式为且，

所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.

故选：C.

题型二：利用指数函数的定义求参数

【典例21】（2024·高二·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（????）

A． B．

C．或 D．，且

【答案】A

【解析】因为是指数函数，

所以，且

所以a=2.

故选：A.

【典例22】（2024·高一·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是