2025年高中数学常用必背公式大全-人教A版 选择性必修第一册.docx

高中数学常用公式

1.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

2.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

3.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

三点共线.

、共线且不共线且不共线.

4.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对，使．

推论：空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对，使，

或对空间任一定点O，有序实数对，使.

5.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

四点共面与、共面（平面ABC）.

6.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.

7.射影公式

已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则〈a，e〉=a·e.

8.空间向量的直角坐标运算：

设，则

(1)；

(2)；

(3)λa＝(λ∈R)；

(4)；

9.设A，B，则=.

10．空间的线线平行或垂直

设，，则

；

.

11.夹角公式

设a＝，b＝，则

cos〈a，b〉=.

推论：，此即三维柯西不等式.

12.四面体的对棱所成的角

四面体中，与所成的角为，则.

13．异面直线所成角

=.

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

14.直线与平面所成角

(为平面的法向量).

15.在中，若平面与过的平面成的角为，另两边，与平面成的角分别是、，为的两个内角，则.

特别地，当时，有.

16.在中，若平面与过的平面成的角为，另两边，与平面成的角分别是、，为的两个内角，则.

特别地，当时，有.

17.二面角的平面角计算（夹角）公式：

设为平面，的法向量．通常情况下，若已知，则.

18.空间两点间的距离公式：若A，B，则=.

19.点到直线距离

(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).

20.异面直线间的距离

(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

21.点到平面的距离

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

22.异面直线上两点距离公式

.

.

（）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，，，).

23.三个向量和的平方公式

.

24．高中数学角的范围：

(1)向量夹角：[0°，180°]；

(2)直线的倾斜角：[0°，180°)；

(3)共面直线的夹角：[0°，90°]；

(4)直线和平面夹角：[0°，90°]；

(5)异面直线夹角：(0°，90°]；

(6)二面角：[0°，180°]．

25.斜率公式

①（、）.

②曲线在点处的切线的斜率，切线方程：.

③直线的一个方向向量为.

26.直线的五种方程(一般两点斜截距)

(1)点斜式(直线过点，且斜率为)．

(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).

(3)两点式()(、()).

(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)．

(5)一般式(其中A、B不同时为0).

27.两条直线的平行和垂直

(1)若，.

①；②.

(2)若，，且A1、A2、B1、B2都不为零，

①；②；

有谁垂（吹）谁(3)直线：中，若，

有谁垂（吹）谁

则垂直于轴；若，则垂直于轴．

28.夹角公式（到的角公式）

(1).

(，，)

(2).

(，，).

直线时，直线l1与l2的夹角是.

29．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程

(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线)，其中是待定的系数；经过定点的直线系方程为，其中是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线，的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是，λ是参变量．

30.点到直线的距离

(点，直线：).

31.或(其中A、B不同时为0)所表示的平面区域

设直线，则(或)所表示的平面区域是：

是0，（0，1）、（1，0）试非0，（