左孝凌离散数学课件.pptVIP

左孝凌离散数学课件欢迎来到左孝凌教授的离散数学课程。本课程将深入探讨离散数学的核心概念和应用。我们将从基础开始，逐步深入复杂主题。

1.绪论离散数学简介离散数学是研究离散结构的数学分支，包括集合、逻辑、图论等。课程概览我们将学习六大主题：绪论、集合论、命题逻辑、谓词逻辑、关系论和图论。学习目标掌握离散数学的基本概念和方法，培养逻辑思维和问题解决能力。

离散数学的定义和应用定义离散数学是研究离散结构的数学分支，包括有限或可数无限的集合。应用领域计算机科学密码学网络分析人工智能

离散数学与其他数学分支的关系代数离散数学借鉴了代数的抽象思维和结构研究方法。分析离散数学与连续数学形成对比，但在某些领域有交叉。几何图论中的许多概念源自几何学，如平面图和拓扑学。

2.集合论1集合基础2集合运算3等势与基数4幂集与笛卡尔积集合论是离散数学的基础，为其他分支提供了理论支撑。我们将从基本概念开始，逐步深入复杂主题。

集合的概念定义集合是具有某种特定性质的事物的总体，这些事物称为该集合的元素。表示方法列举法：A={1,2,3,4,5}描述法：B={x|x是自然数且x6}特殊集合空集：不含任何元素的集合，用?表示。全集：包含所有可能元素的集合。

集合的运算并集A∪B：包含A或B中的所有元素。交集A∩B：包含同时属于A和B的元素。差集A-B：包含属于A但不属于B的元素。补集A：包含不属于A的所有元素。

等势集合和基数等势集合两个集合之间存在一一对应关系，则称这两个集合等势。例如：自然数集与偶数集等势。基数有限集的基数是集合中元素的个数。无限集的基数用阿列夫数表示，如??表示可数无限集的基数。

幂集和笛卡尔积幂集集合A的所有子集构成的集合，记为P(A)。例：A={1,2}，P(A)={?,{1},{2},{1,2}}。笛卡尔积两个集合A和B的笛卡尔积A×B是所有有序对(a,b)的集合，其中a∈A，b∈B。应用幂集在组合数学中有广泛应用。笛卡尔积用于定义关系和函数。

3.命题逻辑1命题概念研究判断语句的真假及其复合关系。2基本运算包括否定、合取、析取、蕴含和等价。3真值表用表格形式表示复合命题的真值。4范式将复合命题转化为标准形式。

命题的概念和分类命题定义命题是一个陈述句，它或真或假，但不能既真又假。分类原子命题：不能再分解的简单命题复合命题：由多个原子命题通过逻辑联结词组成

命题逻辑的基本运算否定(?)p的否定为非p，记为?p。合取(∧)p和q的合取为p且q，记为p∧q。析取(∨)p和q的析取为p或q，记为p∨q。蕴含(→)p蕴含q记为p→q，表示如果p，那么q。

真值表和逻辑等价pqp∧qp∨qp→qTTTTTTFFTFFTFTTFFFFT两个命题具有相同的真值表，则称它们逻辑等价，记为p≡q。

范式和简单化范式将复合命题转化为标准形式，包括合取范式和析取范式。主范式最简单的范式形式，包括主合取范式和主析取范式。化简利用逻辑等价式和真值表，将复杂命题转化为简单形式。

4.谓词逻辑1谓词概念2量词引入3论域与真值4谓词公式5推理规则谓词逻辑是命题逻辑的扩展，引入了变量、量词和谓词，使得逻辑表达更加精确和强大。

谓词的概念定义谓词是关于对象的陈述，可以看作是含有变量的命题函数。表示通常用大写字母表示，如P(x)表示关于x的谓词。例子x是偶数是一个谓词，可表示为E(x)。当x取具体值时，E(x)成为一个命题。

量词和量化全称量词(?)?xP(x)表示对所有x，P(x)都为真。存在量词(?)?xP(x)表示存在x，使得P(x)为真。唯一量词(?!)?!xP(x)表示唯一存在x，使得P(x)为真。

论域和真值论域变量取值的范围，也称为个体域。例如，自然数集、实数集等。论域的选择影响谓词的真值。真值确定对于全称量化，需要检查论域中所有元素。对于存在量化，只需找到一个满足条件的元素。

范式和推理前束范式将所有量词移到公式前面的标准形式。skolem标准形式消除存在量词，引入函数符号的标准形式。推理规则全称实例化、存在实例化等推理规则的应用。

5.关系论1关系定义研究事物之间联系的数学工具。2关系表示集合表示、矩阵表示和图形表示。3关系性质自反性、对称性、传递性等。4特殊关系等价关系、偏序关系等。

关系的概念定义关系R是笛卡尔积A×B的子集，表示A中元素与B中元素之间的某种联系。表示方法集合表示：R={(a,b)|a∈A,b∈B,a和b满足某种关系}有序对表示：aRb表示a与b之间存在关系R例子小于关系：R={(a,b)|a,b∈R,ab}整除关系：R={(a,b)|a,b∈Z,a能整除b}

关系的运算逆关系R?1=