初中数学竞赛标准教程及练习10：二元一次方程的整数解.pdf

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二元一次方程的整数解

一、内容提要

1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

2，二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的

解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

111y

y1y10y1

解：x2y(1),

555

1y

设kk(是整数），则y=1-5k(2),

5

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2

x11k2



∴原方程所有的整数解是（k是整数）

yk15

方法二，公式法：

xx0xxbk0

设ax+by=c有整数解则通解是（x,y可用观察法）

00

yy0yyak0

3，求二元一次方程的正整数解：

1出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值

2用观察法直接写出。

二、例题

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

y18y15910y33y

y

解x32

555

3y

设k（k为整数），y=3－5k,代入得x=9－9k

5

xk99

∴原方程整数解是（k为整数）

yk35

又解：当x=o时，y－2，

x0xy09

∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）

y2yk25

