考前回顾06概率与统计（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年必威体育精装版模拟）原卷版.docx

考前回顾06概率与统计（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年必威体育精装版模拟）

知识清单

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

3．排列

(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．

(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)．

(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,?n－m?！)，这里规定0！＝1.

4．组合

(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

(3)组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！?n－m?！)＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，由于0！＝1，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.

(4)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

5．二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.

6．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为Ceq\o\al(k,n)，当keq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减小．

当n是偶数时，中间的一项取得最大值；

当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.

7．概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

P(A)＝eq\f(事件A包含的样本点个数,样本空间包含的样本点个数).

(2)互斥事件的概率计算公式

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(3)对立事件的概率计算公式

P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．

(4)条件概率公式

P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?).

(5)概率的乘法公式

P(AB)＝P(A)P(B|A)．

(6)全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\