考点14 平面向量的数量积（精讲）第一阶段零基础or艺考生（原卷版）.docxVIP

考点14平面向量的数量积（精讲）

【题型解读】

【知识必备】

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作a，b．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量的数量积

已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积．

注意：b在a方向上的投影为|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.

4．平面向量数量积的重要性质

(1)a⊥b?a·b＝0；

(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；

(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；

5．平面向量数量积的坐标运算

设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)a·b＝x1x2＋y1y2，(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12).(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))

【题型精讲】

【题型一平面向量数量积的计算】

必备技巧求平面向量数量积的方法

（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.

（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.

例1（2021·河南高三月考）已知向量，的夹角为，且，，则（）

A． B． C． D．

例2（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．

【跟踪精练】

1.（2021·江西·宜春九中高三月考）中，，，，为斜边的中点，则（）

A．1 B．1 C．2 D．2

2.（2021·安徽·合肥艺术中学高三月考）如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（）

A．3 B．4 C．5 D．6

3.（2021·北京·中国农业大学附属中学高三期末）已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为___________．

【题型二利用数量积求模长】

必备技巧利用数量积求模长

(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘记开方.．

(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12)．

例3（2021·全国高考真题）若向量满足，则_________.

例4(2021·黑龙江大庆市·大庆中学月考)已知向量，，若，则()

A． B． C． D．

【跟踪精练】

1.（2021·全国·高三课时练习）已知，则（）

A． B． C．13 D．21

2.(2021·福建省高三期末)已知向量，，若//，则________．

【题型三利用数量积求夹角】

方法技巧利用数量积求夹角

(1)向量有没有坐标时，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.

(2)向量有坐标时，cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))

例5【2020年高考全国III卷理数】已知向量a，b满足，，，则

A． B．

C． D．

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

例6(2021·济南旅游学校高三月考)已知向量，．则向量，的夹角______．

【题型精练】

1．（2021·吉林·延边二中高三月考）已知，，.

（1）求与的夹角；

（2）若，且，求.

2.(2021·全国福建省漳州市高三期末)已知，，若，则与的夹角为________.

【题型四利用数量积求解垂直问题】

方法技巧利用向量数量积求解垂直问题

解