2025高考数学二轮复习全套考点突破专题03不等式4题型分类-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学二轮复习全套考点突破专题03不等式4题型分类-专项训练

1．不等式的性质

（1）对称性：ab?ba．

（2）传递性：ab，bc?ac．

（3）可加性：ab?a＋cb＋c．

（4）可乘性：ab，c0?acbc；ab，c0?acbc．

（5）同向可加性：ab，cd?a＋cb＋d．

（6）同向同正可乘性：ab0，cd0?acbd．

（7）同正可乘方性：ab0?anbn(n∈N，n≥2)．

2．两个实数比较大小的方法

作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))(a，b∈R)．

3．基本不等式

（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)．

（2）基本不等式成立的条件：a0，b0．

（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

（4）其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

4．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

（3）ab≤(a，b∈R)．

（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．

5．三个“二次”的关系

判别式Δ

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数的图象

方程的根

有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

不等式的解集

{x|xx1，或xx2}

{x|x≠－eq\f(b,2a)}

R

6．分式不等式与绝对值不等式

（1）eq\f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)g(x)0(0)．

（2）eq\f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．

（3）|x|a(a0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|a(a0)的解集为(－a,a)．

（一）

不等式的性质

1．常用结论

（1）若ab0，且ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b)．

（2）若ab0，m0?eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)．

（3）若ba0，m0?eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)．

2．判断不等式的常用方法．

（1）利用不等式的性质逐个验证．

（2）利用特殊值法排除错误选项．

（3）作差法．

（4）构造函数，利用函数的单调性．

题型1：不等式的性质

1-1．（2024高三上·广东·期末）已知，，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

1-2．（2024·全国）若ab，则

A．ln(a?b)0 B．3a3b

C．a3?b30 D．│a││b│

1-3．（2024·山东）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

（二）

比较大小

1．不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．

（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）．

（3）分析法．

（4）平方法．

（5）分子（或分母）有理化．

（6）利用函数的单调性．

（7）寻找中间量或放缩法．

（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

题型2：比较大小

2-1．（2024·全国）已知，则（????）

A． B． C． D．

2-2．（2024高三·全国·课后作业）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；

（2）设x，，比较与的大小.

2-3．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：．

（三）

基本不等式

1．基本不等式

（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a0，b0)．

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

（3）ab≤(a，b∈R)．

（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．

3．基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．

题型3：基本不等式

3-1．（2024高一下·广西柳州·期末）若，则的最小值为.

3-2．（2024高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为．

3-3．（2024高三上·湖南娄底·期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为．

3-4．（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为