全优课堂·数学·必修第二册(人教A版) 课后提能训练 试题及答案 第8章　习题课.docx

第八章习题课

A级——基础过关练

1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A．12π B．eq\f(32,3)π

C．8π D．4π

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为a，由a3＝8，得a＝2．由题意可知，正方体的体对角线为球的直径，故2r＝eq\r(3a2)，则r＝eq\r(3)．所以该球的表面积为4π×(eq\r(3))2＝12π，故选A．

2．已知某三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，若其外接球的表面积为eq\f(43π,3)，则该三棱柱的高为()

A．eq\f(3,2) B．3

C．4 D．eq\f(5,2)

【答案】B

【解析】由题意易知该三棱柱是底面边长为2的正三棱柱．设C，B分别为三棱柱上、下底面的中心，连接BC，则三棱柱外接球的球心为BC的中点O，如图．

设三棱柱外接球的半径为R．∵三棱柱的外接球的表面积为eq\f(43π,3)，∴4πR2＝eq\f(43π,3)，∴R＝eq\r(\f(43,12))．又∵R＝OA＝eq\r(OB2＋AB2)＝eq\r(OB2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(43,12))，∴OB＝eq\f(3,2)，∴该三棱柱的高为BC＝2OB＝3．

3．(2024年长沙开福区三模)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示的是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝5cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是()

A．60πcm2 B．76πcm2

C．92πcm2 D．96πcm2

【答案】B

【解析】由题意可得圆锥体的母线长为l＝eq\r(32＋42)＝5，所以圆锥体的侧面积为eq\f(5×8π,2)＝20π，圆柱体的侧面积为8π×5＝40π，圆柱的底面面积为π×42＝16π，所以此陀螺的表面积为40π＋20π＋16π＝76π(cm2)．故选B．

4．(2024年乐山市中区模拟)古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理．圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为8eq\r(6)π，则该模型中圆柱的表面积为()

A．12π B．16π

C．24π D．36π

【答案】D

【解析】可设球的半径为r，则根据题意可知圆柱的底面半径也为r，圆柱的高等于直径，即为2r，由球的体积为8eq\r(6)π，利用球的体积公式可得eq\f(4,3)πr3＝8eq\r(6)π，解得r＝eq\r(6)，再由圆柱的表面积公式，得S＝πr2×2＋2πr·2r＝6πr2＝6π×6＝36π．故选D．

5．(2024年涉县期末)已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是()

A．264π B．44π

C．4eq\r(11)π D．eq\f(44\r(11),3)π

【答案】B

【解析】设正四棱柱的底面边长为a，因为正四棱柱的高为6，体积为24，所以a2×6＝24，即a2＝4，得a＝2，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即eq\r(22＋22＋62)＝2eq\r(11)＝2R，所以球的半径为R＝eq\r(11)，球的表面积S＝4πR2＝4π×11＝44π．故选B．

6．(2024年自贡模拟)已知球O的半径为4，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，它们的公共弦长为4，若OO1＝3，OO2＝eq\r(3)，则两截面圆的圆心距O1O2＝()

A．eq\r(3) B．eq\f(4\r(3),3)

C．3＋eq\r(3) D．2eq\r(3)

【答案】D

【解析】根据题意，设圆O1与圆O2的半径分别为r1，r2，设圆O1与圆O2的公共弦为AB，AB的中点为C，连接OC，O1C，O2C，O1O2，如图，已知球O的半径为4，OO1＝3，OO2＝eq\r(3)，则有r1＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，r2＝eq\r(42－(\r(3))2)＝eq\r(13)，圆O1与圆O2为球体的两个截面圆，则O1C⊥AB，O2C⊥AB，又由圆O1与圆O2的公共弦长为4，则AC＝2，则O1C＝eq\r(7－4)＝eq\r(3)，O2C＝eq\r(13－4)＝3，所以在Rt△OO1C中，tan∠OCO1＝eq\f(