高中数学(人教B版)必修二同步讲义第6章第03讲向量的基本定理(学生版+解析).docxVIP

第03讲向量的基本定理

课程标准

学习目标

理解两个平面向量共线的含义．

2．理解平面向量基本定理及其意义．

1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．

2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．

3．会用基底来表示其他向量．

4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

知识点01共线向量基本定理

（1）定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得bλa．

（2）几点说明

①bλa时，通常称为b能用a表示．

②其中的“唯一”指的是，如果还有bμa，则有λμ．

作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))λeq\o(AC,\s\up6(→))．

A，B，C三点共线?存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足eq\o(OA,\s\up6(→))λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ1)．

【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a2e1－e2，与向量be1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．

知识点02平面向量基本定理

1.平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxa＋yb．

2.基底与向量的分解

平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果cxa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．

【解读】①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．

②当x≠0或y≠0时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．

的差向量a?

【即学即练2】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，则x________，y________．

题型01共线向量定理的应用

【典例1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（???）

A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D

【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（????）．

A．3 B． C． D．2

【变式2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（）

A．1 B． C．4 D．

【变式3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（????）

A．1 B． C．1或 D．或

题型02基底的判断

【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）

A．和 B．和

C．和 D．和

【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（????）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

题型03用基底表示向量

【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（???）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中，，分别为，的中点，，，则可以用含，的式子表示为（???）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（????）

??

A． B．

C． D．

题型04根据向量基本定理求参数

【典例4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，点在边上，若，则的值为（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·江西·期中）