集合与不等式难题分析.docVIP

第一章集合与命题

考点综述

集合与命题是高中数学的基石，高考对这局部知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用〔如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等〕；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件．

考点1集合的概念及相应关系

典型考法1与含参数的方程有关的集合问题

集合

(1)假设A是空集，试求a的取值范围；

(2)假设A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

(3)假设A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

必杀技：用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题

一般地，对于集合，其中，，均为实数，

当a≠0时，是一元二次方程的根的集合．须注意：假设求非空集合中的元素之和，那么应分与这两种情形，具体为

(1)假设，那么有两个不等的实根，于是，非空集合

中的元素之和为；

(2)假设，那么有两个相等的实根，于是，非空集合

中的元素之和为．

实战演练

1．为单元素集，那么实数的取值的集合为．

2．设A={x｜x2+(b+2)x+b+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和．

3．对于函数f(x)，设，．

(1)求证：；

(2)假设，且，求a的取值范围．

典型考法2集合对某种运算的封闭性

典型例题

设．

(1)属于的两个整数，其积是否仍属于，为什么？

(2)、、是否属于，请说明理由．

必杀技深刻理解集合中的元素所具有的性质

1．要证明，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式．

2．要证明，通常用反证法．

实际上，此题还可得到进一步的结果：对任意均为中的元素，而不是中的元素．

实战演练

1．设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①假设，那么；②假设，那么；③假设，那么．其中正确命题的个数是……………………〔〕.

A．0 B．1 C．2 D．3

2．．

(1)如果，那么是否为的元素，请说明理由；

(2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和．

3．集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，

．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．假设对于任意的，总有，那么称集合具有性质．

〔=1\*ROMANI〕检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；

〔=2\*ROMANII〕对任何具有性质的集合，证明：；

〔=3\*ROMANIII〕判断和的大小关系，并证明你的结论．

考点2子集、集合中的图形

典型考法1子集

典型例题

设为集合的子集，且，假设

，那么称为集合的元“好集”．

(1)写出实数集的一个二元“好集”；

(2)求出正整数集的所有三元“好集”；

(3)证明：不存在正整数集的元“好集”．

必杀技充分利用所给条件

1．深刻理解概念并其中所给出条件；

2．．

在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏是的一种情况．实际上，在本例中也不存在正整数集的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程．

实战演练

1．假设规定=的子集为的第个子集，其中，那么

(1)是E的第个子集；

(2)的第211个子集是．

2．集合，，当时，那么实数的取值范围是．

3．设全集为，集合满足那么与的关系为．

典型考法2集合中的图形

典型例题

设，，

，问是否存在实数，使得同时满足，且．

．

必杀技：充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系

本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗．此题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作比照．

另法一：假设存在实数a，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2-an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-180≥0，由此得，12b-180≥；又得，a2+b2≤144，故≥≥，即12b-180≥，所以(b-6)2≤0，从而b=6，现将b=6代入中得a2≥108，再代入a2+b2≤144中得，a2≤10因此，只有a2=108，即a=，最后将a=及b=6代入方程3n2-an-(b-15)