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2024届湖北省钢城第四中学高三第二次诊断性检测数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数列满足：，，，为其前n项和，则（）

A．0 B．1 C．3 D．4

2．设实数x,y满足条件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0则

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为()

A． B．3 C．2 D．

4．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．已知，则的取值范围是（）

A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]

6．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）

A． B． C． D．

7．已知，则下列说法中正确的是（）

A．是假命题 B．是真命题

C．是真命题 D．是假命题

8．在中，“”是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）

A． B． C． D．

10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）

A． B． C． D．

11．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（）

A． B． C． D．

12．集合，，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．

14．已知，满足约束条件，则的最大值为________．

15．已知平面向量与的夹角为，，，则________.

16．在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.

18．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，.

（1）设，求函数在上的零点个数；

（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

19．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.

（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；

（2）求证：.

20．（12分）如图，在平面四边形中，，，.

（1）求；

（2）求四边形面积的最大值.

21．（12分）已知函数，.

（1）当时，讨论函数的零点个数；

（2）若在上单调递增，且求c的最大值.

22．（10分）已知离心率为的椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.

【详解】

由已知，①，所以②，①+②，得，

从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.

2、C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直线在y轴的截距加上1，

根据图像知，当x+y=2时，且x∈-13,1时，

故选：C.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

3、D

【解析】