江苏专用2024年高考数学一轮复习考点34数学归纳法必刷题含解析.docVIP

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考点34数学归纳法

1．（2024·江苏高三高考模拟）已知数列，，且对随意n恒成立．

（1）求证：(n)；

（2）求证：(n)．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）①当时，

满意成立.

②假设当时，结论成立.即：成立

下证：当时，成立。

因为

即：当时，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（ⅰ）当时，成立，

当时，成立，

（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立

下证：当时，成立.

因为

要证，

只需证

只需证：，

只需证：

即证：（）

记

当时，

所以在上递增，

又

所以，当时，恒成立。

即：当时，成立。

即：当时，恒成立.

所以当，恒成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对随意的正整数，不等式恒成立，命题得证.

2．（2024·江苏高三高考模拟）已知数列是各项都不为0的无穷数列，对随意的n≥3，n，恒成立．

（1）假如，，成等差数列，求实数的值；

（2）已知＝1．①求证：数列是等差数列；②已知数列中，．数列是公比为q的等比数列，满意，，(i)．求证：q是整数，且数列中的随意一项都是数列中的项．

【答案】（1）

（2）①见解析②见解析

【解析】

（1）由题可得：当时，

两边同除以，可得：

因为，，成等差数列，所以

所以，解得：

（2）①由题可得：当时，…（Ⅰ）

用代上式中的，可得：

…（Ⅱ）

（Ⅱ）（Ⅰ）得：

上式两边同除以可得：

整理得：

整理得：

（ⅰ）由（1）得，当时，，，成等差数列，结论正确.

（ⅱ）假设时，结论正确。即：成等差数列，且公差为

下证时，成等差数列.

即证

又

.

所以成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：对随意的，数列是等差数列.

②由①得：数列是等差数列，公差为

所以，（）

又，，成等比数列，

所以，即：

整理得：

所以，所以是整数

数列中的随意一项

令，则

整理得：，整理得：

又

所以

解得：

即：存在，使得：成立

所以数列中的随意一项都是数列中的项．

3．（2024·江苏高三高考模拟）在教材中，我们已探讨出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．

（1）求的值；

（2）用数学归纳法证明此结论．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

(1)由得

解得

(2)用数学归纳法证明

①当时，明显成立

②假设当时成立，即

那么当时，在个平面的基础上再添上第个平面

因为它和前个平面都相交，所以可得到条互不平行且不共点的交线，且其中任何条直线不共点，这条交线可以把第个平面划分成个部分；每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了个，所以即时，结论成立

依据①②可知，

4．（2024·江苏高三高考模拟）已知均为非负实数，且．

证明：（1）当时，；

（2）对于随意的，．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用证明即可；（2）运用数学归纳法证明即可

【详解】

（1）当时，因为，，…，均为非负实数，且，

所以

．

（2）①当时，由（1）可知，命题成立；

②假设当时，命题成立，

即对于随意的，若，，…，均为非负实数，且，

则．

则当时，设，并不妨设．

令，则．

由归纳假设，知．因为均为非负实数，且，所以

．

所以，

即，

也就是说，当时命题也成立．

所以，由①②可知，对于随意的，．

5．（2024·江苏高三高考模拟）已知数列满意，，．

（1）用数学归纳法证明：；

（2）令，证明：．

【答案】(1)详见解析(2)详见解析

【解析】

（1）证明：当时，，结论明显成立；

假设当时，，

则当时，，

综上，.

（2）由（1）知，，所以.

因为，

所以，

即，

于是，

所以，

故构成以2为公比的等比数列，其首项为.

于是，从而，

所以，即，于是，

因为当时，，

当时，，

所以对，有，所以，所以，

从而.

6．（2024·江苏高三高考模拟）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满意，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的全部错位排列的个数为.

（1）干脆写出，，，的值；

（2）当时，试用，表示，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：为奇数.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）依据定义列错位排列，依据错位排列的个数得，，，的值；（2）依据定义理解，，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先依据递推关系得对随意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论.

试题解析：（1），，，，

（2），理由如下：

对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：

若，这种排列是个元素的错位排