文科经管类微积分第九章常微分方程.ppt

谢谢观赏例解特征根通解形式称为解特征方程故所求通解为例由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法.特征根解特征方程故所求通解为例二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根通解形式二阶常系数齐次线性微分方程例解初值问题解特征方程特征根所以方程的通解为(二重根)特解作业P188(2)(4)解或解例2(C1为任意常数)例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y≡0)作业P172单击此处添加小标题(1)(2)(3)(4)单击此处添加小标题(1)单击此处添加小标题(1)(2)(5)高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学添加标题1大学数学（一）添加标题2第五十七讲添加标题3脚本编写：添加标题4教案制作：添加标题5一阶线性微分方程添加标题69.3一阶线性微分方程线性方程01伯努利方程02上页03下页04铃05结束06返回07首页08第四节一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为线性齐次方程一阶线性微分方程的解法:使用分离变量法2.线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程的通解非齐次方程特解解例1例7求方程解将方程改写为的通解.先求齐次方程的通解.分离变量,得两端积分并整理,得齐次方程的通解用常数变易法求非齐次线性方程的通解，故原方程的通解为：y=(ex+c)(x+1)2．将y与y’代入非齐次方程,并整理,得两端积分,得例1求方程的通解.解:对应的齐次方程为:分离变量得即或所以齐次方程的通解为:用常数变易法求非齐次线性方程的通解，代入方程得即所以因此非齐次方程的通解为:二、伯努利方程伯努利方程下列方程中哪些是伯努利方程？讨论:×√√√提示:下页方程为线性微分方程.二、伯努利(Bernoulli)方程解法:求出通解后,将代入即得原方程的通解.代入上式得例3.以y2除方程的两端,得解:令z?y?1,则上述方程成为这是一个线性方程,它的通解为以y?1代z,得所求方程的通解为下页例3求的通解.解:此方程是伯努利方程:方程两边同乘得,即令得变量可分离方程一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程变量分离常数变易变量代换一阶微分方程练习1991年考研数学一,3分解:可分离变量方程两边积分由原关系式得得分离变量两边对关于求导,例8.解：求方程的通解.将与互换,得方程齐次方程分离变量得所以齐次方程的通解为:用常数变易法求非齐次线性方程的通解，得的通解为:求方程例8.解：的通解.将与互换,得方程的通解为:将与换回,得方程的通解为:作业P177(1)(3)(5)(2)(4)(6)(1)高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学添加标题1大学数学（一）添加标题2第五十八讲添加标题3脚本编写：添加标题4教案制作：添加标题5二阶线性微分方程添加标题69.4二阶线性微分方程添加标题二阶线性微分方程举例添加标题线性微分方程的解的结构添加标题上页添加标题下页添加标题铃添加标题结束添加标题返回添加标题首页一、二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为若方程右端f(x)?0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的.或y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x).下页二、线性微分方程的解的结构[C1y1+C2y2]??+P(x)[C1y1+C2y2]?+Q(x)[C1