《高等数学》课件 第二章 极限与连续.ppt

练习题答案

第九节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证二、介值定理定义:几何解释:几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,例2证由零点定理,三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.★例8解三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案

第八节连续函数的运算与初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1例如,二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3证将上两步合起来:定理4注意定理4是定理3的特殊情况.

三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★定理6一切初等函数在其定义域的区间内都是连续的.初等函数仅在其定义域的区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,在0点的邻域内没有定义.注意例3解同理可得例4解四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.思考题思考题解答是它的可去间断点练习题例如，例1解证必要性充分性意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)证例３解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４解例５解解错

关于“o”的性质1)设f(x)=o(g(x))则cf(x)=o(g(x))2)设f1(x)=o(g(x)),f2(x)=o(g(x))则f1(x)+f2(x)=o(g(x))f1(x)-f2(x)=o(g(x))f1(x)×f2(x)=o(g2(x))例6解

三.、无穷大的比较定义:

思考题任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时练习题练习题答案

第七节函数的连续性一、函数连续的概念

函数的增量连续的另一个定义例1证由定义2知单侧连续定理例2解右连续但不左连续,连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例3证二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.