高中数学(人教B版)必修二同步讲义第6章第04讲向量的坐标及其运算(学生版+解析).docxVIP

第04讲向量的坐标及其运算

课程标准

学习目标

1.了解直线上向量的坐标.

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.理解平面向量的坐标运算.

4.掌握向量平行的坐标表示．

1．掌握求直线上向量的坐标的方法．

2．熟练进行直线上向量的坐标运算．

3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式．

4．掌握向量的坐标表示与运算。

5．能根据向量的坐标解决平行问题

知识点01直线上向量的坐标及其运算

1．直线上向量的坐标

(1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得axe，此时，x称为向量a的坐标．

(2)向量的模和方向与x的关系

|a||xe||x||e||x|(e为单位向量)．

当x0时，a的方向与e的方向相同；

当x0时，a是零向量；

当x0时，a的方向与e的方向相反．

在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．

(3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．

2．直线上向量的运算与坐标的关系

如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2.

(1)ab的充要条件是x1x2.

(2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1.

(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB|x2－x1|，xeq\f(x1＋x2,2).

【即学即练1】

1.如图，向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标为________.

2.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋eq\f(1,2)b的坐标为()

A.1 B．－1

C．0 D．4

知识点02平面向量的坐标及其运算

1．平面向量的坐标

(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．

(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．

(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)．

2．平面上向量的运算与坐标的关系

若a(x1，y1)，b(x2，y2)，λ∈R，则：

(1)a＋b(x1＋x2，y1＋y2)．

(2)a－b(x1－x2，y1－y2)．

(3)λa(λx1，λy1)．

(4)向量相等的充要条件：ab?x1x2且y1y2.

(5)模长公式：|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).

3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式

如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)向量eq\o(OA,\s\up6(→))(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))(x2，y2)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))(x2－x1，y2－y1)．

(2)它们之间的距离：AB|eq\o(AB,\s\up6(→))|

eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).

(3)设AB的中点M(x，y)，则xeq\f(x1＋x2,2)，yeq\f(y1＋y2,2).

【解读】(1)区别eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与a－b的坐标：eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减．

(2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．

4．向量平行的坐标表示

设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b?x2y1x1y2.

【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为()

A．(3，4) B．(2，4)

C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)

题型01直线上向量的坐标及运算

【典例1】如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为()

A．－2，4 B．2，4

C．4，－2 D．－4，－2

【变式1】已知向量a，b在同一直线上，|a|2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为()

A．4 B．－4

C．2或－2 D．4或－4

【变式2】若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下