上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月摸底考试数学试题（解析版）.docxVIP

交大附中高二摸底考数学试卷

2024.09

一?填空题

1.已知，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】由条件结合指数式与对数式关系求，根据换底公式及对数运算法则求结论.

【详解】因为，

所以，，

所以.

故答案为：.

2.设复数满足，则的虚部是_________．

【答案】3；

【解析】

【分析】

把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得出答案.

【详解】由,得,?所以复数z的虚部是3.?

故答案为:3.

【点睛】本题考查复数的乘除运算和复数相关的概念，注意复数的虚部是虚数单位的系数，属于基础题.

3.已知向量，若，则实数__________.

【答案】3

【解析】

【分析】由向量的模与数量积的坐标运算可得关于的方程，求解可得.

【详解】由，得，

故，且.

由，可得，解得.

当时，验证知满足题意.

故答案为：3.

4.焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程.

【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，

由焦距为可得，解得；

又椭圆点，故，所以，

所以椭圆的标准方程为.

故答案为：.

5.幂函数y=fx的图像经过点，则的值为______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据过点求出的解析式，从而得到的值.

【详解】设幂函数，将代入，可得：，

所以，所以.

故答案为：2.

6.已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得.

【详解】记直线的倾斜角为，则，

因，所以，则，

所以.

故答案为：

7.不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】分和，进行分类讨论求不等式解集.

【详解】当，即时，则原不等式转化为，

即，解得，故，

当，即时，则原不等式转化为，

即，解得，故，

综上知不等式的解集为，

故答案为：.

8.已知，若对一切成立，则__________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】依题意为函数最小值点，利用导数求解即可.

【详解】由，有，在R上单调递增，

令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，函数取最小值，最小值为，

若对一切成立，则.

故答案为：

9.函数的对称中心是，则______.

【答案】0

【解析】

【分析】利用反比例函数的对称中心求解即可.

【详解】，故，

函数的对称中心是，则

故则.

故答案为：0

10.给出下列命题：

①“”是“”的充分非必要条件；

②“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；

③“平面向量与的夹角是锐角”的充要条件是“”.

其中正确命题的序号是__________（把所有正确命题的序号都写上）

【答案】①

【解析】

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合二倍角的余弦公式、向量夹角判断各个命题即得.

【详解】对于①，由，得或，因此“”是“”的充分非必要条件，①正确；

对于②，函数，由其最小正周期为，得，解得，

因此“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，②错误；

对于③，由平面向量与的夹角是锐角，得，即且向量与不共线，

因此“平面向量与的夹角是锐角”是“”的充分不必要条件，③错误，

所以正确命题的序号是①.

故答案为：①

11.在正方形所在平面上有点，使得都是等腰三角形.那么具有这样性质的点共有__________个

【答案】9

【解析】

【分析】以正方形的四点顶点为圆心，边长为半径画圆，然后观察求解即可.

【详解】易知两个对角线的交点是一个满足条件的；

以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径画圆，

如图所示，

此时四个圆一共有8个交点，易知这8个交点均使为等腰三角形.

故具有这样性质的点共有个.

故答案为：9.

12.已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】对的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求的取值范围.

【详解】若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列；

若，则，所以，为常数数列；

若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列；

若，则，所以，此时，所以数列一定不是严格增数列；

若，则，，所以.

由，该式在时恒成立；

由.

当时，，又，所以，

此时：，因为，，所以，

即在时成立.

综上可知，的取值范围为：.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：当时，解不等式，可先令，求出的取值范围，在验证所得结果对取其余非零自然数时仍成立，即可.

二?选择题

13.若，且则下列不等式一定成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解